coefficiente binomiale

Basta osservare che C(1,1) = 1

e sfruttare l'induzione matematica unitamente al fatto che

C(n+1, k) = C(n, k) + C(n, k-1).

La somma di numeri naturali é a sua volta un numero naturale.

Questo é un modo rigoroso di descrivere la costruzione del triangolo di Tartaglia.

Dimostrazione:

Il coefficiente binomiale, rappresentato da  (n k) , è definito come:

(n k) = n! / (k! * (n-k)!)

dove:

* n! (n fattoriale) è il prodotto di tutti i numeri naturali da 1 a n.

* k! e (n-k)! sono fattoriali analoghi.

Perché è un numero naturale?

* Fattoriali: Per definizione, i fattoriali sono sempre numeri naturali.

* Divisione: Potresti pensare che dividendo fattoriali si possa ottenere una frazione. Tuttavia, ciò non accade con i coefficienti binomiali.

* Semplificazioni: Nel calcolo di (n k) , molte delle moltiplicazioni al denominatore si semplificano con quelle al numeratore. Questo perché il fattoriale al denominatore contiene molti dei fattori presenti nel numeratore.

* Interpretazione combinatoria: Ogni coefficiente binomiale rappresenta il numero di modi in cui si possono scegliere k elementi da un insieme di n elementi. Questo numero è sempre un intero non negativo, quindi un numero naturale.

Un esempio:

(5 2) = 5! / (2! * 3!) = (54321) / ((21) * (32*1)) = 10

Come vedi, il risultato è un numero intero.

Il coefficiente binomiale $\binom{n}{k}$ è definito come il numero di combinazioni semplici di $n$ elementi di classe $k$ ed è dato dalla seguente formula:

$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!},\ k \leq n \in \mathbb{N}$

Naturalmente $n!$ è un numero intero definito come $n!={\displaystyle \prod_{i=1}^{n} i}$ e sicuramente anche $k!(n-k)!$ è un numero naturale per lo stesso motivo, rimane ora dimostrare che $k!(n-k)! | n!$ ($|$ significa divide). Sapendo che $k \leq n$, per il modo in cui è definito il fattoriale, $(n-k)! | n!$ e precisamente $\frac{n!}{(n-k)!}={\displaystyle \prod_{i=n-k+1}^{n} i}$  (il prodotto degli interi a partire da $(n-k+1)$ fino ad $n$) in questa sequenza compaiono $k-1$ interi consecutivi, mentre $k!$ comprende $k$ interi consecutivi, ma le sequenza di $\frac{n!}{(n-k)!}$ comprende i $k-1$ interi consecutivi a $k$, quindi non ci sono fattori primi in $k!$ che non compaiano in $\frac{n!}{(n-k)!}$, in altre parole il coefficiente binomiale è sempre un intero (perché è preposto $k \leq n$).

Leggendo le risposte degli altri ho notato che penso di aver scelto il modo più complicato per dimostrare una banalità del genere, però l'importante è che funzioni!