[Risolto] Circuito in regime transitorio

a)

Sicuramente si può dire che i(0+)=i(0-)=0

e che v(0+) = E R3/(R1+R3) = 10*15/(12+15) =

= 5/9*10 V = 5.56 V.

f 1= R/L = 12//15/1 Hz = 180/27 Hz = 6.67 Hz.

(Verrà qualche genio che ti mostrerà in un batter d'occhio - in modo rapido e intuitivo - che

Req = R1//R3 ma io ho dovuto dimostrarlo passando per il partitore di tensione nel dominio

di Laplace).

Al resto dovrei pensare.

Aggiornamento

b)

Certamente al chiudersi di T1 e lasciando passare un tempo indefinito senza toccare nulla

R3 é in parallelo ad un cc e quindi ip1 = E/R1 = 10/12 A = 0.833 A.

Applicando la condizione iniziale i(0+) = 0

ip1 + K1 *e^0 = 0 => K1 = -ip1 = - 0.833 A

i(T-) = ip1 - ip1 e^(-a1 T) = 0.833 (1 - e^(-20/3 * 3) ) ~ 0.833*1 A = 0.833 A.

v(T-) = L di/dt|_(t=T-) = L ip1 e^(-a1 T) *(-a1) = 1*5/6 e^(-20/3*3) * (-20/3) V =

= - 5/6*20/3 e^(-20) V =- 50/9 e^(-20) V = - 1.145*10^(-8) V

c)

Calcolo di V(T+) = R3 i3.

Per continuità delle variabili di stato i(T+) = i(T-) = 5/6

inoltre R1//R2 = 12*13/(12+13) = 156/25 ohm = 6.24 ohm.

Nella nuova configurazione pertanto avremo

i1 = i + i3 = 5/6 + i3   a T+

10 = 6.24 i1 + 15 i3

Sostituendo e risolvendo

6.24 (5/6 + i3) + 15 i3 = 10

5.2 + 6.24 i3 + 15 i3 = 10

21.24 i3 = 4.8

i3 = 4.8/21.24

v(T+) = R3 i3 = 15*4.8/21.24 = 3.3898 V.

Passiamo al calcolo di alfa2.

Data la configurazione del circuito dopo la chiusura di entrambi gli interruttori

basta sostituire a R1 in R1//R3 con R1//R2 : quindi Req = R1//R2//R3

1/Req = 1/12 + 1/13 + 1/15 = 0.2269

Req/L = 1/0.2269 : 1 Hz = 4.4068 Hz

e andiamo infine alla parte conclusiva

Come prima, a regime permanente (t -> oo) R3 é il parallelo a un cc

e allora ip2 = E/(R1//R2) = E*(1/R1 + 1/R2) = 10*(1/12 + 1/13) A =

= 1.6026 A.

Infine  i(T+) = K2 e^(alfa2 (T - T)) + ip2 = K2 + ip2

K2 = (5/6 - 1.6026) A = - 0.7692 A.

costante di tempo T = L /Req ....dove Req = R1//R2//R3

alla chiusura di S1 con S2 aperto , Io = E/(R2+R3), Vo = Io*R3 ed f = 1/T = Req/L ; trascorso un tempo t1 >5T, la corrente aumenta dal valore iniziale Io al valore  I pari a e/R1 (R3 essendo shuntata da L), Vo diventa V= 0 ed En = L/2*I^2

Alla successiva  chiusura di S2, la corrente, a transitorio esaurito, passerà dal valore I = e/R1 al valore finale I' = e/(R1//R2) in un tempo t' > 5T' ed En' = L/2*I'^2, T' essendo pari a L/(R1//R3) ed f' = 1/T'