Circonferenze e poligoni liceo scientifico, secondo anno

Se i due cateti hanno un rapporto pari a 3/4 vuol dire che il triangolo assegnato è simile al triangolo rettangolo primitivo con dimensioni(3,4,5) che ha perimetro 3+4+5=12

Quindi vuol dire che il triangolo rettangolo in studio è 24/12 = 2 volte più grande del triangolo rettangolo primitivo . Quindi ha dimensioni(6,8,10).

Tale triangolo ha area pari a: 1/2·6·8 = 24 cm^2

Ma risulta pure:

24 = 1/2·12·r----> 12 = 6·r---> r = 2 cm

Sia ABC un triangolo rettangolo di ipotenusa BC circoscritto alla circonferenza C. Sapendo che un cateto è congruente ai 4/3 dell'altro e che il perimetro del triangolo è 24 cm, determina il raggio di C.

Soluzione:  2 cm.

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Triangolo rettangolo:

cateto maggiore $C= 4x;$

cateto minore $c= 3x;$

quindi col perimetro e utilizzando il teorema di Pitagora:

$4x+3x+\sqrt{(4x)^2+(3x)^2} = 24$

$7x+\sqrt{16x^2+9x^2} = 24$

$7x+\sqrt{25x^2} = 24$

$7x+5x = 24$

$12x = 24$

$x= \dfrac{24}{12}$

$x= 2$

risultati:

cateto maggiore $C= 4x = 4·2 = 8\,cm;$

cateto minore $c= 3x = 3·2 = 6\,cm;$

ipotenusa $ip= 24-(8+6) = 24-14 = 10\,cm;$

semiperimetro $p= \dfrac{2p}{2} = \dfrac{24}{2} = 12\,cm;$

area $A= \dfrac{C·c}{2} = \dfrac{8·6}{2} = 24\,cm^2;$

quindi:

raggio della circonferenza inscritta $r= \dfrac{A}{p} = \dfrac{24}{12} = 2\,cm.$

detto c il cateto minore :

i^2 = c^2+16c^2/9 = 25c^2/9 

ipotenusa i = 5c/3

perimetro 2p = c+4c/3+5c/3 = 12c/3 = 24 cm

cateto minore c = 24/12*3 = 6 cm

cateto maggiore C = 4c/3 = 8 cm

ipotenusa i = 6/3*5 = 10 cm 

doppia area 2A = c*C = 6*8 = 48 cm^2

raggio cerchio inscritto = r = 2A/p = 48/24 = 2,0 cm 

5/3x+x+4/3x=24    12/3x=24  x=6=c1  c2=6*4/3=8   ipot,=6*5/3=10

r=(6+8-10)/2=2