[Risolto] Circonferenze e poligoni

Occhio ai dati... Quali ipotesi puoi aggiungere affinché il quadrilatero ABQP sia un trapezio? Che tipo di trapezio ottieni?

Come al solito: ti vogliono suggerire qualcosa e ti confondono le idee....

Innanzitutto un grafico su cui puoi ragionarci sopra!

Dal grafico allegato si capisce subito che il quadrilatero in questione è per la precisione inscrivibile in una semicirconferenza di cui il lato AB risulta essere il suo diametro.

Infatti per costruzione BP risulta essere perpendicolare al lato AC e di conseguenza al lato AP  del quadrilatero. Per i tre punti deve ABP deve quindi passare una sola circonferenza.

Questo vale anche per AQ che per costruzione risulta perpendicolare anche al lato BQ. Quindi anche per i punti ABQ vale il discorso che per essi debba passare una sola circonferenza. Ne consegue che ABQP è in scrivibile ad una unica circonferenza.

Adesso il punto D di figura deve essere il centro di tale circonferenza. Questo è confermato dal teorema di Talete considerando gli assi dei lati del quadrilatero relativi ai lati BQ ed AP.

@Valevalliii

I triangoli ABP e ABQ sono triangoli rettangoli per ipotesi aventi la stessa ipotenusa AB = diametro della circonferenza circoscritta.

Quindi i vertici P, Q sono punti che appartengono alla stessa circonferenza di diametro AB.

Il quadrilatero ABPQ è inscrivìbile nella circonferenza di diametro AB. 

Il centro della circonferenza circoscritta è il punto di incontro degli assi dei lati di ABPQ.

Se il triangolo ABC è isoscele sulla base AB, il quadrilatero ABPQ è un trapezio isoscele in quanto gli angoli alla base congruenti e AB // PQ

Infatti le altezze relative ai lati obliqui del triangolo isoscele sono congruenti e quindi i lati lati sono divisi in parti proporzionali. 

Se due lati di un triangolo sono divisi proporzionalmente, la retta che unisce i punti di divisione è parallela al terzo lato

Grazie mille!

Nel triangolo acutangolo ABC traccia le relative altezze dei lati AC E BC, e indica rispettivamente con P e Q i piedi delle perpendicolari.  Dimostra che il quadrilatero ABQP è inscrivibile in una circonferenza e individua il suo  centro. 

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se AQ e BP sono altezze relative ai lati BC e AC la circonferenza di centro O nel mezzo del lato AB passa per Q e P che determinano i triangoli rettangoli ABQ e ABP.

Quindi ABQP è inscritto in tale circonferenza.

Occhio ai dati... Quali ipotesi puoi aggiungere affinché il quadrilatero ABQP sia un trapezio? Che tipo di trapezio ottieni?

occorre che ABC sia isoscele sulla base AB.

E isoscele è il trapezio che si ottiene; ABP e ABQ sono eguali in quanto, oltre al retto, hanno uguali gli angoli QA^B e AB^P  { ... o Talete  etc.}.