[Risolto] Circonferenze e poligoni

Ciao di nuovo.

Con riferimento alla figura allegata, siano f e g le altezze del triangolo  MNP che si intersecano on D che risulta pertanto ortocentro del triangolo stesso.

Per costruzione dello stesso triangolo MNP si ha che:

f essendo perpendicolare al lato MP, deve anche essere perpendicolare al lato BC del triangolo più grande ABC in virtù, del Teorema di Talete in quanto, per costruzione,  le rette BC e MP sono fra loro parallele in quanto, tagliate dalle trasversali AB ed AC a segmenti proporzionali AM=MB

corrispondono  segmenti proporzionali AP=PC.

Quindi concludo che tale retta f è asse del segmento BC in quanto passante per il punto medio per costruzione e perpendicolare anche a BC per quanto detto sopra.

Nello stesso identico modo si dimostra che la retta g risulta asse del segmento  AB.

Le intersezioni degli assi di questi due segmenti forniscono il circocentro D del triangolo ABC

sia  O il centro della circonferenza circoscritta al triangolo ABC .

I raggi condotti da O ai vertici A, B, C determinano , con i lati  del triangolo ABC, tre triangoli isosceli le cui bisettrici per O sono sia altezze che mediane.

basta osservare che tali altezze sono anche porzioni di quelle di MNP della tua figura.