[Risolto] circonferenze con i fasci

Tesi: CD ⟂ PQ, qual che sia Γ(k) ≡ o sono parallele agli assi o il prodotto fra le loro pendenze vale meno uno.
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Γ(k) è la circonferenza di parametro k generata dal fascio di punti base O(0, 0) e P(2, 4).
Il generico centro C(x, y) è equidistante da O e da P e la comune distanza è il raggio r; da
* |CO|^2 = |CP|^2 ≡ x^2 + y^2 = (x - 2)^2 + (y - 4)^2 ≡ y = (5 - x)/2
si ha, assumendo l'ascissa del centro come parametro,
* C(k, (5 - k)/2)
* r^2 = k^2 + ((5 - k)/2)^2 = (5/4)*(k^2 - 2*k + 5) >= 5 (per k = 1)
* Γ(k) ≡ (x - k)^2 + (y - (5 - k)/2)^2 = (5/4)*(k^2 - 2*k + 5)
che interseca
* l'asse x in (x = 0) oppure in (x = 2*k)
* l'asse y in (y = 0) oppure in (y = 5 - k)
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I punti nominati sono
* P(2, 4), A(2, 0), B(0, 4), O(0, 0), C(2*k, 0), D(0, 5 - k)
e le rette sono
* AB ≡ y = 4 - 2*x
* CD ≡
≡ (k = - 5/3) & (y = 2*x + 20/3)
oppure
≡ (k = 0) & (x = 0)
oppure
≡ (k ∉ {- 5/3, 0}) & (y = ((5 - k)/(2*k))*x + (5 - k))
da cui tre possibili punti Q
* AB & CD ≡ (y = 4 - 2*x) & (y = 2*x + 20/3) ≡ Q(- 2/3, 16/3)
* AB & CD ≡ (y = 4 - 2*x) & (x = 0) ≡ Q(0, 4)
* AB & CD ≡ (y = 4 - 2*x) & (y = ((5 - k)/(2*k))*x + (5 - k)) ≡
≡ Q(2*(k^2 - k)/(3*k + 5), (9 - (k - 2)^2)/(3*k + 5))
e tre possibili congiungenti PQ
* PQ ≡ y = 5 - x/2
* PQ ≡ y = 4
* PQ ≡ y = (((k + 4)^2 - 1)/(2*(k + 1)*(5 - k)))*x - (5*k^2 - 8*k - 5)/((k + 1)*(5 - k))
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Verifiche
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* Γ(- 5/3) ≡ (x + 5/3)^2 + (y - 10/3)^2 = 125/9
* Γ(0) ≡ x^2 + (y - 5/2)^2 = 25/4
sono circonferenze normalissime, perciò i tre possibili punti Q sono legittimi tutt'e tre.
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La consegna «Dimostrare che, al variare delle circonferenze nel fascio, la retta PQ è sempre perpendicolare alla retta CD», ammesso che "sempre" stia per "ovunque" (il luogo dei valori di k è, appunto, un luogo e non un tempo), impone di effettuare tre verifiche e di esibirne la congiunzione.
1) k = - 5/3; CD ≡ y = 2*x + 20/3; PQ ≡ y = 5 - x/2; CD ⟂ PQ ≡ Vero.
2) k = 0; CD ≡ x = 0; PQ ≡ y = 4; CD ⟂ PQ ≡ Vero.
3) k ∉ {- 5/3, 0}; CD ≡ y = ((5 - k)/(2*k))*x + (5 - k); PQ ≡ y = (((k + 4)^2 - 1)/(2*(k + 1)*(5 - k)))*x - (5*k^2 - 8*k - 5)/((k + 1)*(5 - k)); CD ⟂ PQ ≡
≡ ((5 - k)/(2*k))*(((k + 4)^2 - 1)/(2*(k + 1)*(5 - k))) = - 1 ≡
≡ (k + 5)*(k + 3)/(4*(k + 1)*k) = - 1 ≡
≡ (k + 5)*(k + 3)/(4*(k + 1)*k) + 1 = 0 ≡
≡ 5/4 + 15/(4*k) - 2/(k + 1) = 0 ≡ ∄ k ∈ R
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Il risultato è una disgiunzione
* o la tesi è confutata
* o la mia atrofia cerebrale ha colpito di nuovo.
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Come fare il disegno
Tracciare il segmento OP, il suo asse e le intersezioni A e B.
Tracciare una qualsiasi circonferenza per A e B, centrata sull'asse di OP, e le intersezioni C e D.
Tracciare le necessarie congiungenti e verificare la tesi, per quel singolo caso.
Ripetere con una diversa circonferenza fino a trovare un contresempio.