CIRCONFERENZE

Problema:

Scrivi le equazioni delle circonferenze che staccano sull'asse y una corda di lunghezza uguale a 6 ed hanno per tangente la retta $x-3y-12=0$ nel suo punto $A$ di ordinata -4.

Soluzione:

L'equazione generale della circonferenza è espressa dall'equazione $π: (x-x_0)² + (y-y_0)²=r²$, essa per staccare una corda sull'asse y di lunghezza uguale a 6 deve necessariamente passare per due punti di ascissa pari a 0, mentre per essere tangente alla retta $s:y=\frac{x}{3}-4$ il discriminante del sistema retta-circonferenza deve risultare di valore nullo; inoltre per presentare il punto di tangenza in A la circonferenza deve passare per il suddetto punto.

Si ricava la posizione del punto A:

$A\in s: -4=\frac{x}{3}-4 \rightarrow x=0$ ossia $A(0;-4)$.

La circonferenza avendo una corda di lunghezza pari a 6 sull'asse y passerà dunque per un punto $B(0;-4 \pm 6)$.

Si impostano due sistemi per ricavare i valori $x_0, y_0$ ed $r$

condizione di tangenza ∆=0: $9(-(x_0)²-144-9(y_0)²+24x_0+6(x_0)(y_0)-72y_0+10r²)=0$

Passaggio in $A(0;-4)$: $(x_0)²+(-4-y_0)²=r²$

Passaggio in $B_1(0;+2)$: $(x_0)²+(2-y_0)²=r²$

condizione di tangenza ∆=0: $9(-(x_0)²-144-9(y_0)²+24x_0+6(x_0)(y_0)-72y_0+10r²)=0$

Passaggio in $A(0;-4)$: $(x_0)²+(4-y_0)²=r²$

Passaggio in $B_2(0;-10)$: $(x_0)²+(-10-y_0)²=r²$

Il primo sistema risulta in $(x_0;y_0;r)=(-1;-1;\sqrt{10})$ mentre il secondo sistema risulta in $(x_0,y_0,r)=(1;-7;\sqrt{10})$

Si sostituiscono i valori nell'equazione generale della circonferenza.

$π_1: (x+1)²+(y+1)²=10$

$π_2:(x-1)²+(y+7)²=10$

L'immagine che segue è stata realizzata tramite l'elaboratore grafico Desmos.

{x - 3·y - 12 = 0

{y = -4

Risolvo: [x = 0 ∧ y = -4]

Punto di tangenza : [0, -4]

x^2 + y^2 + a·x + b·y + c = 0

Circonferenza superiore: deve passare anche per [0,2]

{0^2 + (-4)^2 + a·0 + b·(-4) + c = 0 per [0,-4]

{0^2 + 2^2 + a·0 + b·2 + c = 0 per [0,2]

Quindi risolvo:

{4·b - c = 16

{2·b + c = -4

ed ottengo: [b = 2 ∧ c = -8]

x^2 + y^2 + a·x + 2·y - 8 = 0

Formule di sdoppiamento:

0·x - 4·y + a·(x + 0)/2 + 2·(y - 4)/2 - 8 = 0

a·x/2 - 3·y - 12 = 0

confronto con: x - 3·y - 12 = 0

a/2 = 1---> a = 2

x^2 + y^2 + 2·x + 2·y - 8 = 0

Circonferenza inferiore: passa anche per [0,-10]

{0^2 + (-4)^2 + a·0 + b·(-4) + c = 0 per [0,-4]

{0^2 + (-10)^2 + a·0 + b·(-10) + c = 0

risolvo:

{4·b - c = 16

{10·b - c = 100

ottengo: [b = 14 ∧ c = 40]

x^2 + y^2 + a·x + 14·y + 40 = 0

Formule di sdoppiamento:

0·x - 4·y + a·(x + 0)/2 + 14·(y - 4)/2 + 40 = 0

a·x/2 + 3·y + 12 = 0

(a·x/2 + 3·y + 12 = 0)·(-1)

- a·x/2 - 3·y - 12 = 0

- a/2 = 1---> a = -2

x^2 + y^2 - 2·x + 14·y + 40 = 0

a.  Fascio di circonferenze tangenti alla retta x-3y-12 = 0 nel punto A(0,-4)

Posiamo esprimerlo come combinazione lineare della circonferenza di centro A(0, -4) e raggio zero e della retta tangente, cioè

a.1 Eq. circonferenza raggio nullo $(x-0)^2 + (y+4)^2 = 0 \quad \implies \quad x^2+y^2+8y+16 = 0 $

a.2 Eq. retta tangente x-2y-12 = 0

a.3 Eq. del fascio. $x^2+y^2+8y+16+k(x-3y-12) = 0$

$ x^2+y^2 +kx+(8-3k)y +16-12k = 0$

.

b.  Imponiamo che la corda, sull'asse delle y, sia lunga 6 

b.1 Punti di intersezione con l'asse delle ordinate (x=0). Sono dati dalla soluzione dell'equazione

$y^2 + (8-3k)y +16-12k = 0$

Le due soluzioni sono:

i) $y_1 = -4$

ii) $ y_2 = 3k-4$

Imponiamo che la distanza tra i due punti (lunghezza corda) sia eguale a 6

$|y_2 - y_1| = 6$

$ 3k -4+4 = ± 6$

$ k = ± 2$

Sostituendo i due valori nell'equazione del fascio avremo

1. $x^2+y^2-2x+14y+40 = 0$
2. $x^2+y^2+2x+2y-8 = 0$

La retta tangente
* t ≡ x - 3*y - 12 = 0 ≡ y = x/3 - 4 ≡ x = 3*(y + 4)
nel suo punto P di ordinata - 4 ha ascissa zero, quindi P(0, - 4).
I centri (C1, C2) delle richieste circonferenze Γ1 e Γ2 devono appartenere alla retta per A
* r ≡ y = - 4 - 3*x
ortogonale a t.
Per staccare sull'asse y una corda lunga 6 occorre che
* Γ1 passi per Q1(0, - 10)
* Γ2 passi per Q2(0, 2)
e che i centri siano sull'asse della rispettiva corda, cioè
* C1 sulla y = - 7
* C2 sulla y = - 1
Pertanto
* (y = - 4 - 3*x) & (y = - 7) ≡ C1(1, - 7)
* (y = - 4 - 3*x) & (y = - 1) ≡ C2(- 1, - 1)
ovviamente simmetrici rispetto a P, quindi individuanti il comune raggio
* |PC1| = |PC2| = r = √10
e da ciò infine
* Γ1 ≡ (x - 1)^2 + (y + 7)^2 = 10 ≡ x^2 + y^2 - 2*x + 14*y + 40 = 0
* Γ2 ≡ (x + 1)^2 + (y + 1)^2 = 10 ≡ x^2 + y^2 + 2*x + 2*y - 8 = 0
che è proprio il risultato atteso.

xA - 3(-4) - 12 = 0

xA = 0

A = (0, -4)

x^2 + y^2 + ax + by + c = 0

se x = 0

y^2 + by + c = 0

|y2 - y1| = rad(D)/A = 6

D/A^2 = 36

b^2 - 4c = 36

Inoltre

0 + 16 + 0 - 4b + c = 0

4b - c = 16

c = 4b - 16

b^2 - 4(4b - 16) = 36

b^2 - 16b + 28 = 0

b^2 - 2b - 14b + 28 = 0

b(b - 2) - 14(b - 2) = 0

(b - 2)(b - 14) = 0

b = 2 V b = 14

c = 4*2 - 16 = - 8 oppure 4 * 14 - 16 = 40

Poi usiamo la formula di sdoppiamento

a/2 (x + xA) + b/2 (y + yA) + c = 0

a/2 x + b/2 (y - 4) + c = 0

a/2 x + b/2 y - 2b + c = 0

che coincide con x - 3y - 12 = 0

solo se

a/2 : 1 = (-2b + c)/(-12)

a = (2b - c)/6

a1 = (4 + 8)/6 = 2

a2 = (28 - 40)/6 = -2

Riepilogando

x^2 + y^2 + 2x + 2y - 8 = 0

x^2 + y^2 -2x + 14y + 40 = 0