[Risolto] circonferenze

2·x + y + 3 = 0----> y = - 2·x - 3

x^2 + y^2 + a·x + b·y + c = 0

{1^2 + (-4)^2 + a·1 + b·(-4) + c = 0

{3^2 + 0^2 + a·3 + b·0 + c = 0

passaggio per i punti: [1, -4] e [3, 0]

Risolvo quindi il sistema :

{a - 4·b + c = -17

{3·a + c = -9

Rispetto ai due parametri a e c:

[a = 2·(2 - b) ∧ c = 3·(2·b - 7)]

Quindi mi riporto al fascio di circonferenze in un solo parametro b:

x^2 + y^2 + (2·(2 - b))·x + b·y + 3·(2·b - 7) = 0

che metto a sistema con la retta data:

{x^2 + 2·x·(2 - b) + y^2 + b·y + 3·(2·b - 7) = 0

{y = - 2·x - 3

Procedo per sostituzione:

x^2 + 2·x·(2 - b) + (- 2·x - 3)^2 + b·(- 2·x - 3) + 3·(2·b - 7) = 0

5·x^2 + 4·x·(4 - b) + 3·(b - 4) = 0

applico la condizione di tangenza:

Δ/4 = 0

(2·(4 - b))^2 - 5·3·(b - 4) = 0

4·b^2 - 47·b + 124 = 0

Risolvo: b = 31/4 ∨ b = 4

Quindi le circonferenze:

x^2 + 2·x·(2 - 31/4) + y^2 + 31/4·y + 3·(2·(31/4) - 7) = 0

x^2 - 23·x/2 + y^2 + 31·y/4 + 51/2 = 0

4·x^2 + 4·y^2 - 46·x + 31·y + 102 = 0

x^2 + 2·x·(2 - 4) + y^2 + 4·y + 3·(2·4 - 7) = 0

x^2 + y^2 - 4·x + 4·y + 3 = 0

Il luogo dei punti C(x, y) equidistanti da A(1, - 4) e da B(3, 0) è la retta soluzione di
* |AC|^2 = |BC|^2 ≡
≡ (x - 1)^2 + (y + 4)^2 = (x - 3)^2 + y^2 ≡
≡ y = - (x + 2)/2
di cursore C(k, - (k + 2)/2), che dista r(k) = (√5/2)*√((k - 2)^2 + 4) da A e da B
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Il fascio di circonferenze per A e B è
* Γ(k) ≡ (x - k)^2 + (y + (k + 2)/2)^2 = 5*(k^2 - 4*k + 8)/4 = ((√5/2)*√((k - 2)^2 + 4))^2 ≡
≡ (x - k)^2 + (y + (k + 2)/2)^2 - 5*(k^2 - 4*k + 8)/4 = 0
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La retta
* t ≡ 2*x + y + 3 = 0 ≡ y = - (2*x + 3)
tange almeno una Γ se è solo se l'equazione
* (x - k)^2 + (- (2*x + 3) + (k + 2)/2)^2 - 5*(k^2 - 4*k + 8)/4 = 0 ≡
≡ 5*x^2 - 4*(k - 2)*x + 3*(k - 2) = 0
risolvente del loro sistema ha nullo il discriminante
* Δ(k) = 4*(4*k^2 - 31*k + 46) = 16*(k - 2)*(k - 23/4) = 0 ≡
≡ (k = 2) oppure (k = 23/4)
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Risultato
* Γ(2) ≡ (x - 2)^2 + (y + 2)^2 = 5
* Γ(23/4) ≡ (x - 23/4)^2 + (y + 31/8)^2 = 1445/64
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By%3D-2*x-3%2C%28y--2%29%5E2%3D5-%28x-2%29%5E2%2C%28y--31%2F8%29%5E2%3D1445%2F64-%28x-23%2F4%29%5E2%5D