Quest'esercizio è talmente ricco di problemi che comprendo bene che tu sia sconcertato.
Io però sono vecchio e difficile da sconcertare.
Di fronte a una situazione complessa adotto il metodo dell'antica Roma «Divide et impera»: isolo i sottoproblemi e li risolvo singolarmente; solo alla fine, con tutto comodo, rimonto i pezzi.
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A) Nell'equazione della circonferenza generica in forma normale standard
* Γ ≡ (x - a)^2 + (y - b)^2 = q = r^2
ci sono tre parametri: raggio r (o q = r^2) e coordinate del centro C(a, b).
Qui il centro è
* M = (A + B)/2 = ((1, 1) + (3, 5))/2 = (2, 3)
e il raggio è la comune distanza
* |AM| = |MB| = r = √5
da cui
* Γc ≡ (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 5
di pendenza
* dy/dx = mc(x) = (2 - x)/(y - 3)
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B) Pure nell'equazione della generica parabola non degenere con asse parallelo all'asse y, apertura a != 0, vertice V(w, h)
* Γ ≡ y = h + a*(x - w)^2
ci sono tre parametri.
Qui il vertice è B(3, 5) da cui
* Γp ≡ y = 5 + a*(x - 3)^2
e l'apertura si trova dal vincolo d'appartenenza di A(1, 1)
* 1 = 5 + a*(1 - 3)^2 ≡ a = - 1
da cui
* Γp ≡ y = 5 - (x - 3)^2
di pendenza
* dy/dx = mp(x) = 2*(3 - x)
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C) Dalle soluzioni del sistema
* Γp & Γc ≡ (y = 5 - (x - 3)^2) & ((x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 5) ≡
≡ A(1, 1) oppure B(3, 5) oppure C(4, 4) doppio
si vede che la soluzione doppia implica tangenza fra le due curve e quindi comune retta tangente t.
* mc(4) = (2 - 4)/(4 - 3) = - 2
* mp(4) = 2*(3 - 4) = - 2
* t ≡ y = 4 - 2*(x - 4)
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D) Il punto cursore della parabola è P(k, 5 - (k - 3)^2) le cui distanze |PQ| dalla tangente t e |PR| dall'asse x
* |PR| = 5 - (k - 3)^2
* |PQ| = √((k - 4)^4/5) = |(k - 4)^2|/√5 = (k - 4)^2/√5
soddisfanno alla condizione se e solo se
* |PQ|*√5 + |PR| = 2 ≡
≡ ((k - 4)^2/√5)*√5 + 5 - (k - 3)^2 - 2 = 0 ≡
≡ 2*(5 - k) = 0 ≡
≡ k = 5
da cui
* P(5, 5 - (5 - 3)^2) = (5, 1)
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E) Non ci sono pezzi da rimontare, è stata sufficiente la risoluzione a catena.
