Considera la parabola con asse parallelo all'asse $y$ passante per $A(1,0), B(4,0)$ e $C(0,4)$. Determina:
a. l'equazione della parabola;
b. l'equazione della retta $r$ tangente alla parabola in $B$;
c. l'equazione della retta $s$, parallela a $r$, che individua sulla parabola una corda $D E$ di lunghezza $4 \sqrt{35}$;
d. l'area del triangolo $D E B$;
e. l'equazione della circonferenza tangente alla retta $r$ in $B$ e avente il centro sulla retta di equazione $x=7$.
3363
punti
Livello 2
8272
punti
Livello 7
Sino al punto d)
y = a·(x - 1)·(x - 4)
passaggio per [0, 4]
4 = a·(0 - 1)·(0 - 4)--->4 = 4·a---> a = 1
y = x^2 - 5·x + 4
----------------
retta tangente in B
[4, 0]
(y + 0)/2 = 4·x - 5·(x + 4)/2 + 4 (formule di sdoppiamento)
y = 3·x - 12
---------------------
{y = 3·x + q
{y = x^2 - 5·x + 4
per sostituzione:
x^2 - 5·x + 4 - (3·x + q) = 0
x^2 - 8·x - q + 4 = 0
risolvo ed ottengo:
x = 4 - √(q + 12) ∨ x = √(q + 12) + 4
Come conseguenza ho i punti:
x = √(q + 12) + 4 ∧ y = 3·√(q + 12) + q + 12
x = 4 - √(q + 12) ∧ y = - 3·√(q + 12) + q + 12
Δx = √(q + 12) + 4 - (4 - √(q + 12)) = 2·√(q + 12)
Δy = 3·√(q + 12) + q + 12 - (- 3·√(q + 12) + q + 12) = 6·√(q + 12)
d = √(Δx^2 + Δy^2)
4·√35 = √((2·√(q + 12))^2 + (6·√(q + 12))^2)
4·√35 = √(40·(q + 12))----> q = 2
y = 3·x + 2
Per q=2 si ottengono:
[x = √14 + 4 ∧ y = 3·√14 + 14, x = 4 - √14 ∧ y = 14 - 3·√14]
-----------------------------
Area
[4, 0]
[√14 + 4, 3·√14 + 14]
[4 - √14, 14 - 3·√14]
[4, 0]
Α = 1/2·ABS((4·(3·√14 + 14) + (√14 + 4)·(14 - 3·√14) + 4·0)+
- (4·(14 - 3·√14) + (4 - √14)·(3·√14 + 14) + (√14 + 4)·0))
Α = 1/2·ABS((14·√14 + 70) - (70 - 14·√14))
Α = 14·√14
94596
punti
Genius II
