[Risolto] CIRCONFERENZA/PARABOLA

a.  Circonferenza con diametro $d_{AB}$ e passante per A(-3,0) e B(3,4)

• diametro circonferenza ovvero distanza AB.

$ d_{AB} = √((xA-xB)²+(yA-yB)²) = √(36 + 16) = √52$

• Punto medio M del segmento AB   

$ M((xA+xB)/2, (yA+yB)/2) = M(0, 2)$

• La circonferenza di centro M e raggio $r = \frac {d_{AB}}{2}$ ha equazione

$ x^2 + (y-2)^2 = \frac {52}{4}  $

$ x^2+y^2-4y-9 = 0$

b.   Parabola.

• Equazione canonica della parabola con asse di simmetria // all'asse delle y

$y = ax^2+bx+c$

• Vertice V(xV, yV) ≡ M(0,2)
  • • xV = 0 ⇒ 0 = -b/2a ⇒ b = 0
    • yV = 2 ⇒ 2 = -(b²-4ac)/4a ⇒ 2 = c 
• passante per A(-3,0) ⇒ 0 = 9a - 3b + c ⇒ 9a +2 = 0 ⇒ a = - 2/9

$ y = -\frac{2}{9}x^2 + 2$

c.  Rette tangenti

• Equazione bisettrice 1°-3° quadrante. y = x
• Fascio rette parallele alla bisettrice. y = x + q
• Punti di intersezione circonferenza fascio. E' sufficiente imporre che il discriminate dell'equazione che si ottiene dal sistema circonferenza fascio sia nullo

$\left\{\begin{aligned} x^2+y^2-4y-9 &= 0 \\ y &= x + q \end{aligned} \right.$

Indichiamo con Δ₁ il discriminante 

$Δ₁=0 \quad \implies \quad -q^2+4q+22 = 0 \quad \implies \quad q = ±\sqrt{26}$

per cui le rette tangenti hanno equazione

$ y = x + 2±\sqrt{26}$

d.   impostiamo il sistema parabola fascio/rette

$\left\{\begin{aligned} y &= -\frac{2}{9}x^2 + 2 \\ y &= x + q \end{aligned} \right.$ 

Indichiamo con Δ₂ il discriminante 

$Δ₂=0 \quad \implies \quad 25-8q = 0 \quad \implies \quad q = \frac {25}{8}$

La retta tangente alla parabola ha equazione $y = x + \frac {25}{8}$

e.   Almeno un punto in comune sia con la circonferenza sia con la parabola.

• Impostiamo il sistema fascio di rette y = x+k e la circonferenza e verifichiamo per quali k la soluzione è reale (almeno un punto). Tutto ciò significa che il discriminante già calcolato sia maggiore e eguale a zero.

$    Δ_1 \ge 0 \quad \implies \quad -k^2+4k+22 \ge 0 $

questa disequazione è verificata per 

$ 2-\sqrt{26} \le \, k \, \le 2+\sqrt{26} $

• Similmente operiamo con il sistema parabola/fascio. In questo caso

$  Δ_2 \ge 0 \quad \implies \quad k \le \frac{25}{8} $

I valori di k che soddisfano il quesito sono 

$ 2-\sqrt{26} \le k \le \frac{25}{8}$