Dato il seguente fascio di curve $Y:(k+2) x^2-k y^2=1$, determina per quali valori di $k$ si ha:
a) Una circonferenza;
b) Un'ellisse con i fuochi sull'asse $x$;
c) Un'ellisse con i fuochi sull'asse $y$.
Dato il seguente fascio di curve $Y:(k+2) x^2-k y^2=1$, determina per quali valori di $k$ si ha:
a) Una circonferenza;
b) Un'ellisse con i fuochi sull'asse $x$;
c) Un'ellisse con i fuochi sull'asse $y$.
2164
punti
Livello 2
5973
punti
Livello 6
$Γ(k): (k+2)x^2 - ky^2 = 1$
Oss. Per essere un'ellisse i coefficienti a², b² devono essere positivi quindi
Quindi necessariamente k∈(-2, 0).
a. Una circonferenza.
Nel nostro caso, per essere una circonferenza, i due coefficienti dei termini quadratici devono essere eguali
k + 2 = -k ⇒ k = - 1.
b. Ellisse con i fuochi sull'asse delle x.
La condizione è verificata se a > b. Dove con a, b indico i coefficienti dell'equazione canonica.
a > b
nel nostro caso dove compaiono
a² = 1/(k+2) ⇒ a = √(1/(k+2))
b² = -1/k ⇒ b = √(-1/k)
per cui
a > b
√(1/(k+2)) > √(-1/k)
-k > k + 2
k < -1
inseriamo il vincolo dell'ellisse e avremo
-2 < k < - 1
Oss. Nello svolgimento delle disequazioni abbiamo considerato che a e b sono termini positivi
c. Ellisse con i fuochi sull'asse delle y.
La condizione è verificata se a < b. Dove con a, b indico i coefficienti dell'equazione canonica.
Ripeto i calcoli e troverò
k > -1
inseriamo il vincolo dell'ellisse e avremo
-1 < k < 0
6013
punti
Livello 2