[Risolto] Circonferenza e tangenti

Nell'equazione della circonferenza generica in forma normale canonica
* Γ ≡ x^2 + y^2 + a*x + b*y + c = 0
ci sono tre parametri: (a, b, c), trovando i quali si trova l'equazione della circonferenza.
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"circonferenza passante per l'origine" vuol dire c = 0
* Γ ≡ x^2 + y^2 + a*x + b*y = 0
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"circonferenza ... tangente in A(1;2) alla ... y=-3x+5" vuol dire un paio di cose.
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1) circonferenza per A(1, 2)
* 1^2 + 2^2 + a*1 + b*2 = 0 ≡ b = - (a + 5)/2
* Γ ≡ x^2 + y^2 + a*x - ((a + 5)/2)*y = 0
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2) Il sistema
* t & Γ ≡ (y = 5 - 3*x) & (x^2 + y^2 + a*x - ((a + 5)/2)*y = 0)
ha risolvente
* x^2 + (5 - 3*x)^2 + a*x - ((a + 5)/2)*(5 - 3*x) = 0 ≡
≡ 4*x^2 + (a - 9)*x + (5 - a) = 0
con discriminante che, per la tangenza, dev'essere zero
* Δ(a) = (a - 1)^2 = 0
da cui
* a = 1
* b = - (1 + 5)/2 = - 3
* Γ ≡ x^2 + y^2 + x - 3*y = 0
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Vedi al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By%3D5-3*x%2Cx%5E2%2By%5E2%2Bx-3*y%3D0%5D

x^2 + y^2 + a·x + b·y + c = 0

se passa per l'origine:  c = 0

x^2 + y^2 + a·x + b·y = 0

Il passaggio per A(1,2) riduce il numero di parametri incogniti ad uno:

1^2 + 2^2 + a·1 + b·2 = 0-----> a + 2·b = -5----> a = - 2·b - 5

x^2 + y^2 + (- 2·b - 5)·x + b·y = 0

Applico le formule di sdoppiamento a quanto ottenuto:

1·x + + 2·y + (- 2·b - 5)·(x + 1)/2 + b·(y + 2)/2 = 0

x·(2·b + 3) - y·(b + 4) = -5----> y = x·(2·b + 3)/(b + 4) + 5/(b + 4)

Confronto la retta parametrica in b così ottenuta con la retta reale:

y = - 3·x + 5 tangente in A

Deve essere:

{(2·b + 3)/(b + 4) = -3

{5/(b + 4) = 5

Il valore che si ottiene per b le soddisfa entrambe e vale: b = -3

Quindi: a = - 2·(-3) - 5-----> a = 1

Circonferenza: x^2 + y^2 + x - 3·y = 0