Date una circonferenza e una retta nel piano cartesiano, indica un procedimento per determinare il punto $P$ della circonferenza di minor distanza dalla retta e poi trova il punto della circonferenza di equazione $x^2+y^2-4 x-6 y+12=0$ più vicino alla retta $x+2 y-1=0$.
$$
\left[P\left(2-\frac{\sqrt{5}}{5} ; 3-\frac{2}{5} \sqrt{5}\right)\right]
$$
Buongiorno mi sapreste suggerire un procedimento per risolvere il problema 2?
Senza calcoli...
Grazie
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Livello 1
Procedimento
Date nel piano cartesiano una circonferenza Γ e una retta r, la retta s per il centro C di Γ, perpendicolare ad r, interseca r nel punto H e Γ nei punti A e B fra i quali il punto P più vicino ad r è quello che dista meno da H.
Quindi il procedimento richiesto è: localizzare C(xC, yC); calcolare, se esiste, la pendenza m != 0 di r; determinare s o come y = yC o come x = xC o come y = yC - (x - xC)/m di pendenza m' = - 1/m; localizzare H, A, B; calcolare le distanze |AH| e |BH|; individuare P.
Esempio
* Γ ≡ x^2 + y^2 - 4*x - 6*y + 12 = 0 ≡ (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 1 → C(2, 3)
* r ≡ x + 2*y - 1 = 0 ≡ y = (1 - x)/2 → m = - 1/2 → m' = + 2
* s ≡ y = 2*x - 1
* s & r ≡ (y = 2*x - 1) & (y = (1 - x)/2) ≡ H(3/5, 1/5)
* s & Γ ≡ (y = 2*x - 1) & ((x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 1) ≡
≡ A(2 - 1/√5, 3 - 2/√5) oppure B(2 + 1/√5, 3 + 2/√5)
* |AH| = √(2*(27 - 7*√5)/5) ~= 2.13
* |BH| = √(2*(27 + 7*√5)/5) ~= 4.13
* P = A(2 - 1/√5, 3 - 2/√5)
Grafico
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5B%28y-3%29%5E2%3D1-%28x-2%29%5E2%2C2*%28x%5E2-y%5E2%29-3*x-y%3D-3*x*y-1%5D
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Genius I
@exprof gentilissima!!! Grazie!!!
x^2 + y^2 - 4·x - 6·y + 12 = 0
[2, 3]
r = √(2^2 + 3^2 - 12)
r = 1
x + 2·y - 1 = 0
y = 1/2 - x/2
m = - 1/2----> m = 2
y - 3 = 2·(x - 2)
y = 2·x - 1
{x^2 + y^2 - 4·x - 6·y + 12 = 0
{y = 2·x - 1
[ x = √5/5 + 2 ∧ y = 2·√5/5 + 3 ; x = 2 - √5/5 ∧ y = 3 - 2·√5/5 ]
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Genius II
