Circonferenza

Potresti tracciare la retta per AB e trovarne il punto medio ( facile in questo caso). Ora calcoli L'equazione dellla retta perpendicolare ad AB passante per il punto medio ( asse del segmento ) e individui le intersezioni con la circonferenza. Troverai due punti in quanto la retta interseca la circonferenza in quei punti.  Dei due triangoli prendi quello con il punto di intersezione più  distante dal punto medio di AB

@enjas

Ciao.

x^2 + y^2 + a·x + b·y + c = 0

impongo il passaggio per i due punti dati: [3, 1] e [3, 3]

{3^2 + 1^2 + a·3 + b·1 + c = 0

{3^2 + 3^2 + a·3 + b·3 + c = 0

Quindi:

{3·a + b + c = -10

{3·a + 3·b + c = -18

Risolvo ed ottengo:

[a = - (c + 6)/3 ∧ b = -4]

quindi la circonferenza è ridotta al solo parametro c:

x^2 + y^2 - x·(c + 6)/3 - 4·y + c = 0

La retta tangente è possibile ottenerla attraverso le note formule di sdoppiamento

in [3, 1] ho:

3·x + 1·y - (c + 6)/3·(x + 3)/2 - 4·(y + 1)/2 + c = 0

x·(12 - c)/6 - y + (c - 10)/2 = 0

confronto con la retta tangente data:

y = 3·x - 8-----> 3·x - y - 8 = 0

{(12 - c)/6 = 3

{(c - 10)/2 = -8

Ottengo: c = -6

Quindi l'equazione della circonferenza:

[a = - (-6 + 6)/3 ∧ b = -4]------> [a = 0 ∧ b = -4]

x^2 + y^2 - 4·y - 6 = 0

riconosco il centro: [0, 2] ed il raggio r:

r = √(0^2 + 2^2 + 6) = √10

x^2 + (y - 2)^2 = 10

Quindi essendo A e B posizionati su un segmento verticale (stessa ascissa), metto a sistema la stessa circonferenza con l'asse di tale segmento:

{x^2 + y^2 - 4·y - 6 = 0

{y = 2

ottengo quindi: [x = √10 ∧ y = 2, x = - √10 ∧ y = 2]

In figura è indicata una delle due soluzioni.

RIPASSI
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Nell'equazione della circonferenza generica in forma normale standard
* Γ ≡ (x - a)^2 + (y - b)^2 = q = r^2
ci sono tre parametri: raggio r (o q = r^2) e coordinate del centro C(a, b).
Si trova l'equazione della circonferenza trovando i tre parametri (a, b, q).
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Tutti e soli i punti P(x, y) equidistanti da due dati punti A(a, p) e B(b, q) giacciono sull'asse del segmento AB
* Per a = b: asse(AB) ≡ y = (p + q)/2
* Per p = q: asse(AB) ≡ x = (a + b)/2
* Per p != q: asse(AB) ≡ y = (2*(b - a)*x + a^2 - b^2 + p^2 - q^2)/(2*(p - q))
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ESERCIZIO
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Essendo A(3, 1) e B(3, 3) allineati sulla x = 3 sia il centro K che i due possibili vertici C richiesti dalla consegna devono giacere sull'asse di AB, la secante diametrale
* s ≡ y = (1 + 3)/2 ≡ y = 2
cioè
* K(k, 2), C(c, 2)
da cui
* q = r^2 = |KA|^2 = |KB|^2 = (k - 3)^2 + 1
* Γ ≡ (x - k)^2 + (y - 2)^2 = (k - 3)^2 + 1
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Per la tangenza in A con la
* t ≡ y = 3*x - 8
il sistema
* t & Γ ≡ (y = 3*x - 8) & ((x - k)^2 + (y - 2)^2 = (k - 3)^2 + 1)
ha risolvente
* (x - k)^2 + (3*x - 8 - 2)^2 - ((k - 3)^2 + 1) = 0 ≡
≡ x^2 - ((k + 30)/5)*x + 3*(k + 15)/5 = 0
con discriminante
* Δ(k) = k^2/25
che s'annulla solo per k = 0 determinando
* K(0, 2)
* Γ ≡ x^2 + (y - 2)^2 = 10
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Per i due possibili vertici C(c, 2) si ha
* c^2 + (2 - 2)^2 = 10 ≡
≡ c = ± √10
ossia
* C1(- √10, 2), C2(√10, 2)