Circonferenza

Il fascio
* x^2 + y^2 - 2*(k - 3)*x + 4*k*y + 9 = 0
avendo eguali e non parametrici i coefficienti dei termini quadrati, e zero quello del termine rettangolare, RAPPRESENTA CIRCONFERENZE PER OGNI VALORE DEL PARAMETRO.
Alcune potranno essere complesse e altre reali degeneri, ma poiché la consegna dice "rappresenta una circonferenza" senza specificare "reale non degenere", la risposta corretta è «Per ogni k reale.».
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Nella forma normale canonica si tratta facilmente solo il quesito b: per gli altri è meglio ricavare, per completamento di quadrati, la forma normale standard da cui leggere le proprietà geometriche.
* x^2 + y^2 - 2*(k - 3)*x + 4*k*y + 9 = 0 ≡
≡ x^2 - 2*(k - 3)*x + y^2 + 4*k*y + 9 = 0 ≡
≡ (x - (k - 3))^2 - (k - 3)^2 + (y + 2*k)^2 - (2*k)^2 + 9 = 0 ≡
≡ (x - (k - 3))^2 + (y + 2*k)^2 = (5*k - 6)*k
quindi si ha
* centro C(k - 3, - 2*k)
* luogo dei centri y = - 2*(x + 3)
* raggio r(k) = √((5*k - 6)*k)
* generi di circonferenza
** complesse per (5*k - 6)*k < 0 ≡ 0 < k < 6/5
** reali degeneri per (5*k - 6)*k = 0 ≡ (k = 0) oppure (k = 6/5)
** reali non degeneri per (5*k - 6)*k > 0 ≡ (k < 0) oppure (k > 6/5)
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QUESITI
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a) ha centro sulla y = - 4
* yC = - 4 ≡ - 2*k = - 4 ≡ k = 2
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b) passa per (2, - 1)
* (2 - (k - 3))^2 + (- 1 + 2*k)^2 = (5*k - 6)*k ≡
≡ k = 13/4
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c) ha r = 2*√2 = √8
* (5*k - 6)*k = 8 ≡ (k = - 4/5) oppure (k = 2)
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d) ha centro sulla y = - x + 1
* - 2*k = - (k - 3) + 1 ≡ k = - 4