Due circonferenze di centri $C_{1}(2 ; 3)$ e $C_{2}\left(\frac{7}{2} ; 6\right)$ sono tangenti esternamente. Determina le loro equazioni, sapendo che $\gamma_{1}$ passa per il punto $(0 ; 2)$. Scrivi poi l'equazione del fascio individuato da $\gamma_{1}$ e $\gamma_{2}$ e l'equazione della retta tangente comune.
$$
\begin{aligned}
&{\left[\gamma_{1}: x^{2}+y^{2}-4 x-6 y+8=0\right.} \\
&12 y+47=0 ; x+2 y-13=0]
\end{aligned}
$$
36
punti
Livello 0
Di nuovo.
Determino la prima circonferenza: C1(2,3) passante per P(0,2)
(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = r^2 con r = √((0 - 2)^2 + (2 - 3)^2)-----> r = √5
(x^2 - 4·x + 4) + (y^2 - 6·y + 9) = 5
x^2 + y^2 - 4·x - 6·y + 8 = 0
Determino distanza fra i due centri C1(2,3) e C2(7/2,6)
√((7/2 - 2)^2 + (6 - 3)^2) = 3·√5/2
La differenza:
3·√5/2 - √5 = √5/2 è il raggio della seconda circonferenza
Quindi la seconda circonferenza ha equazione:
(x - 7/2)^2 + (y - 6)^2 = (√5/2)^2
(x^2 - 7·x + 49/4) + (y^2 - 12·y + 36) = 5/4
x^2 + y^2 - 7·x - 12·y + 47 = 0
L'equazione del fascio individuato dalle due circonferenze è:
x^2 + y^2 - 4·x - 6·y + 8 + k·(x^2 + y^2 - 7·x - 12·y + 47) = 0
L'asse radicale si ottiene sottraendo le due equazioni membro a membro
x^2 + y^2 - 4·x - 6·y + 8 = 0
x^2 + y^2 - 7·x - 12·y + 47 = 0
------------------------------------------
//.........// ..3·x + 6·y - 39 = 0--------> x + 2·y - 13 = 0
che è quindi la retta tangente comune alle due circonferenze.
90143
punti
Genius II
