Circonferenza

Premetto che non ho ancora studiato le circonferenze in geometria analitica, quindi mi affido totalmente al mio intuito e alle mie scarse conoscenze pregresse.

Perché la circonferenza sia degenere deve accadere che il suo raggio sia $0$, quindi analizziamo l'equazione data:

$x^2+y^2+2ax+5a-4y=0$

Notiamo subito che possiamo completare due quadrati in $x$ e $y$:

$(x+a)^2-a^2+(y-2)^2-4+5a=0$

$(x+a)^2+(y-2)^2=a^2-5a+4$

Vogliamo che il raggio di questa circonferenza sia maggiore di $0$, quindi poniamo $a^2-5a+4 > 0$ (una distanza non può essere negativa o nulla)

$(a-4)(a-1) > 0$ da cui $a<1 \lor a>4$.

Perché abbia centro di ascissa 3 deve accadere che ad un punto di ascissa $3$ la differenza di ascisse sia $0$, ovvero $(3+a)^2=0$, quindi $a=-3$, perché abbia centro sull'asse $y$ invece deve accadere che per ascissa $0$ la differenza delle ascisse sia $0$, quindi $(0-a)^2=0$, $a=0$.

Che la circonferenza non passi per l'origine significa che la coppia di valori $(x,y)=(0,0)$ non verifica l'equazione della circonferenza, quindi che:

$(0+a)^2+(0-2)^2 \neq a^2-5a+4$

$a^2+4 \neq a^2-5a+4$

$a \neq 0$

Mentre perché abbia raggio 2 poniamo:
$a^2-5a+4=2^2$

$a^2-5a=0$

$a(a-5)=0$

Scartiamo la soluzione $a=0$ perché la circonferenza non deve passare per l'origine.

Nonostante le mie scarse conoscenze sono riuscito a fare qualcosa, spero che sia bastato!