circonferenza

Strategia risolutiva

1) verifica che A e B appartengano alla parabola data

2) tramite le formule di sdoppiamento determini le due rette tangenti in A e B alla parabola stessa

3) determini le due rette perpendicolari alle tangenti trovate e passanti per A e B

4) metti a sistema le due rette normali  e determini il centro della circonferenza C

N.B. il centro C sta sull'asse della parabola ed asse del segmento AB

Quindi CA=CB=r da cui l'equazione:

(x+3)^2+(y+1/4)^2=1/2

La parabola
* Γp ≡ y = x^2 + 6*x + 8 ≡ y = (x + 4)*(x + 2) ≡ y = (x + 3)^2 - 1
ha
* pendenza m(x) = 2*(x + 3)
* zeri in x ∈ {- 4, - 2}
* asse di simmetria x = - 3
* apertura a = 1 > 0, quindi concavità verso y > 0
* vertice V(- 3, - 1)
* intersezioni con la y = - 3/4 in
** (y = - 3/4) & (y = (x + 3)^2 - 1) ≡ A(- 7/2, - 3/4) oppure B(- 5/2, - 3/4)
con pendenze
** m(- 7/2) = 2*(- 7/2 + 3) = - 1
** m(- 5/2) = 2*(- 5/2 + 3) = + 1
tangenti
** tA ≡ x*(- 7/2) + 6*(x - 7/2)/2 + 8 - (y - 3/4)/2 = 0 ≡ y = - x - 17/4
** tB ≡ x*(- 5/2) + 6*(x - 5/2)/2 + 8 - (y - 3/4)/2 = 0 ≡ y = + x + 7/4
e normali
** nA ≡ y = - 3/4 + (x + 7/2) ≡ y = + x + 11/4
** nB ≡ y = - 3/4 - (x + 5/2) ≡ y = - x - 13/4
che incidono nel centro della circonferenza richiesta
* (y = + x + 11/4) & (y = - x - 13/4) ≡ C(- 3, - 1/4)
il cui raggio è la comune distanza
* |CA| = |CB| = 1/√2
da cui la circonferenza richiesta
* Γc ≡ (x + 3)^2 + (y + 1/4)^2 = 1/2 ≡ 16*x^2 + 16*y^2 + 96*x + 8*y + 137 = 0
Vedi al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By%3D%28x--3%29%5E2-1%2C%28y--1%2F4%29%5E2%3D1%2F2-%28x--3%29%5E2%2C%28-x-17%2F4-y%29*%28x--7%2F4-y%29*%28x--11%2F4-y%29*%28-x-13%2F4-y%29%3D0%5Dx%3D-5to-1%2Cy%3D-2to2