[Risolto] Circonferenza

Indichiamo con [α, β] le coordinate del centro delle circonferenze cercate. Dovendo essere tangenti all'asse delle x, il raggio r di esse deve essere pari all'ordinata, quindi r = β 

Le equazioni sono quindi del tipo: (x - α)^2 + (y - β)^2 = β^2

Il centro deve stare sull'asse del segmento congiungente la corda di estremi:

[0, 10] e [4, 8]

(4 - α)^2 + (8 - β)^2 = (0 - α)^2 + (10 - β)^2

α^2 - 8·α + β^2 - 16·β + 80 = α^2 + β^2 - 20·β + 100

α^2 - 8·α + β^2 - 16·β + 80 - (α^2 + β^2 - 20·β + 100) = 0

- 8·α + 4·β - 20 = 0----> β = 2·α + 5

lo sostituiamo in: α^2 - 8·α + β^2 - 16·β + 80 = β^2

α^2 - 8·α + (2·α + 5)^2 - 16·(2·α + 5) + 80 - (2·α + 5)^2 = 0

α^2 - 40·α = 0---> α = 40 ∨ α = 0

α = 40 : β = 2·40 + 5--> β = 85

α = 0 : β = 2·0 + 5--> β = 5

Equazioni:

(x - 40)^2 + (y - 85)^2 = 85^2

(x - 0)^2 + (y - 5)^2 = 5^2

x^2 + (y - 5)^2 = 25

Ripasso
Nell'equazione in forma normale standard della generica circonferenza Γ
* Γ ≡ (x - a)^2 + (y - b)^2 = q = r^2
ci sono tre parametri: raggio r (o q = r^2) e coordinate del centro C(a, b).
Si trova l'equazione della circonferenza determinando i tre parametri (a, b, q).
Se uno o più fra (a, b, q) è funzione di un parametro k allora Γ(k) è l'equazione di un fascio.
Esercizio
I centri C(x, y) delle circonferenze per A(0, 10) e B(4, 8) sono tutti e soli i punti del piano equidistanti da A e da B, e tale comune distanza è il loro raggio; fra tali circonferenze quelle tangenti all'asse x devono avere r = y.
* |CA|^2 = |CB|^2 = q = y^2 ≡
≡ x^2 + (y - 10)^2 = (x - 4)^2 + (y - 8)^2 = y^2 ≡
≡ (x^2 + (y - 10)^2 = (x - 4)^2 + (y - 8)^2) & ((x - 4)^2 + (y - 8)^2 - y^2 = 0) ≡
≡ (y = 2*x + 5) & (y = x^2/16 - x/2 + 5)
cioè: i possibili centri richiesti sono le intersezioni fra l'asse del segmento AB e la parabola che esprime il vincolo di tangenza
* C1(0, 5) oppure C2(40, 85)
da cui
* Γ1 ≡ x^2 + (y - 5)^2 = 5^2
* Γ2 ≡ (x - 40)^2 + (y - 85)^2 = 85^2
Vedi al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By%3D0%2C%28y-5%29%5E2%3D5%5E2-x%5E2%2C%28y-85%29%5E2%3D85%5E2-%28x-40%29%5E2%5D