Data l'equazione $x^2+y^2+(k+4) x-(k+4) y+4=0$, determina per quali valori di $k$ essa rappresenta una circonferenza e studia le caratteristiche del fascio da essa definito. Stabilisci se esiste una circonferenza del fascio il cui centro appartiene alla retta di equazione $x-y+2=0$.
32
punti
Livello 0
Prima consegna
Il fascio
* Γ(k) ≡ x^2 + y^2 + (k + 4)*x - (k + 4)*y + 4 = 0 ≡
≡ (x + (k + 4)/2)^2 + (y - (k + 4)/2)^2 = (k + 4)^2/2 - 4
rappresenta circonferenze con
* raggi r(k) = √((k + 4)^2/2 - 4)
* centri C(- (k + 4)/2, (k + 4)/2)
* l'asse centrale y = - x è la diagonale dei quadranti pari
in particolare
* per - 4 - 2*√2 < k < - 4 + 2*√2, rappresenta circonferenze con raggio immaginario
* per (k = - 4 - 2*√2) oppure (k = - 4 + 2*√2), rappresenta circonferenze degeneri sul proprio centro
* per (k < - 4 - 2*√2) oppure (k > - 4 + 2*√2), rappresenta circonferenze con raggio reale positivo
Altre caratteristiche
* Γ(- 8) ≡ (x - 2)^2 + (y + 2)^2 = 4
* Γ(0) ≡ (x + 2)^2 + (y - 2)^2 = 4
* Γ(- 8) & Γ(0) ≡ ((x - 2)^2 + (y + 2)^2 = 4) & ((x + 2)^2 + (y - 2)^2 = 4) ≡
≡ impossibile ≡ fascio dei esterne, senza punti base.
* Γ(- 8) - Γ(0) ≡ ((x - 2)^2 + (y + 2)^2 - 4) - ((x + 2)^2 + (y - 2)^2 - 4) = 0 ≡
≡ 8*(y - x) = 0 ≡
≡ y = x ≡
≡ l'asse radicale y = x è la diagonale dei quadranti dispari
Seconda consegna
La retta data
* x - y + 2 = 0 ≡ y = x + 2
essendo ortogonale all'asse centrale lo interseca senz'altro; quindi sì, esiste.
57382
punti
Genius I
