a. Determina l'equazione della circonferenza $\Gamma_1$ avente centro nel punto $C(4 ; 2)$ e che stacca sulla retta di equazione $y=5$ una corda AB lunga 2.
b. Verificato che si ottiene $\Gamma_1: x^2+y^2-8 x-4 y+10=0$ e considerata la circonferenza $\Gamma_2$ di equazione $x^2+y^2+10 x-10 y+10=0$, verifica che $\Gamma_1$ e $\Gamma_2$ sono tangenti esternamente.
c. Determina infine l'equazione della tangente comune passante per il punto di tangenza.
32
punti
Livello 0
{(x - 4)^2 + (y - 2)^2 = r^2
{y = 5
Procedo per sostituzione
(x - 4)^2 + (5 - 2)^2 = r^2
(x^2 - 8·x + 16) + (9 - r^2) = 0
x^2 - 8·x - r^2 + 25 = 0
Risolvo:
x = 4 - √(r^2 - 9) ∨ x = √(r^2 - 9) + 4
Impongo che sia:
√(r^2 - 9) + 4 - (4 - √(r^2 - 9)) = 2
Risolvo: r = - √10 ∨ r = √10
(x - 4)^2 + (y - 2)^2 = 10
x^2 + y^2 - 8·x - 4·y + 10 = 0
-----------------------------------------
x^2 + y^2 + 10·x - 10·y + 10 = 0
Riconosco il centro: [-5, 5]
poi il raggio:
R = √((-5)^2 + 5^2 - 10) = 2·√10
Calcolo la distanza fra i due centri:
[-5, 5] e [4, 2]
d = √((4 + 5)^2 + (2 - 5)^2) = √90 = 3·√10
Osservo che d = r+R quindi le due circonferenze sono tangenti esternamente.
--------------------------------------------------------------
x^2 + y^2 - 8·x - 4·y + 10 = 0 -
x^2 + y^2 + 10·x - 10·y + 10 = 0
--------------------------------Sottraggo membro a membro
6·y - 18·x = 0----> y = 3·x
è la tangente comune
punto di contatto:
x^2 + (3·x)^2 - 8·x - 4·(3·x) + 10 = 0
10·x^2 - 20·x + 10 = 0
10·(x - 1)^2 = 0----> x = 1
[1,3]
90025
punti
Genius II
