PUNTO A:TRIVARE L'EQUAZIONE DELLA CIRCONFERENZA
Prima di tutto scriviamo tutto ciò che sappiamo
Retta che contiene il centro r: y=3x+2
Equazione generale circonferenza c: x²+y²+ax+by+c=0
Punto A (-2;0) e B (-2;4)
Formula per trovare le coordinate del centro:
C (-a/2 ; -b/2)
Dato che il centro appartiene alla retta detto prima, dobbiamo sostituire le coordinate del centro al posto della x e y nell'equazione della retta
Quindi a posto di y mettiamo -b/2 e al posto della x mettiamo -a/2
Da y=3x+2 diventa -b/2 = -3a/2 +2
Moltiplicando tutto per -2 ottieni b = 3a-4 e per ora la teniamo da parte
Ora le coordinate dei punti A e B li dobbiamo sostituire nell'equazione generale della circonferenza
Nel caso di punto A otteniamo (-2)²+(0)²+a(-2)+b(0)+c =0
Che diventa 4-2a+c=0
Ti isoli la c e ottieni c=2a-4 e anche questa la teniamo per ora da parte
Stessa cosa lo facciamo con le coordinate del punto B
(-2)²+(4)²+a(-2)+b(4)+c=0
Che diventa 4+16-2a+4b+c=0
4+16 = 20
20-2a+4b+c=0
Però noi sappiamo che b = 3a-4 e c= 2a-4 e li sostituiamo nell'ultima equazione trovata
20-2a+4(3a-4)+(2a-4)= 0
20-2a+12a-16+2a-4=0
-6a = 0 ----> a=0
b = 3a-4 = -4
c = 2a-4 = -4
Quindi l'equazione della circonferenza è
x²+y²-4y-4 = 0
PUNTO B: TROVARE LE RETTE TANGENTI ALLA CIRCONFERENZA E PARALLELE ALLA RETTA x-y=0 che è uguale a dire y=x
Una retta generale ha l'equazione y= mx+q
Ma dev'essere parallela alla retta y=x
Quindi la m è automaticamente uguale a 1, quindi ci resta da scoprire i valori di q in modo tale che le altre rette siano tangenti alla circonferenza
y = x+q
Lo vado a sostituire al posto della y nell'equazione della circonferenza
x²+y²-4y-4=0 diventa x²+(x+q)²-4(x+q)-4 =0
Svolgiamo i calcoli
x²+x²+q²+2xq-4x-4q-4=0
Diventa un equazione di secondo grado
2x²+ x(2q-4) +(q²-4q-4) =0
Ci calcoliamo il ∆ e lo poniamo uguale a 0 perché le rette devono essere tangenti quindi ci deve essere una sola soluzione
∆= (2q-4)²-4(2)(q²-4q-4) = 0
∆= 4q²+16-16q-8q²+32q+32=0
-4q²+16q+48=0
Dividiamo tutto per -4
q²-4q-12=0
Abbiamo una seconda equazione di secondo grado
∆ = (-4)²-4(-12) = 16 + 48 = 64
Ora ci troviamo q1,2 = [-(-4)±√∆]/2
q= 4±√64 /2
q= 4±8/2
q1=(4+8)/2= 12/2 = 6. y1= x+6
q2 = (4-8)/2 = -4/2 = -2. Y2= x-2
Ecco trovate le rette tangenti
PUNTO C: TROVARE LA RETTA PARALLELA ALL'ASSE DELLA X (Y=K) TALE CHE LA CORDA SULLA CIRCONFERENZA MISURI 4
Prima cosa sostituire k al posto della y nell'equazione della circonferenza
x²+y²-4y-4=0. Diventa. x²+k²-4k-4=0
Isoliamo x e ottieniamo x²= -k²+4k-4
X = ±√(-k²+4k-4)
E di conseguenza abbiamo 2 soluzioni nella circonferenza
X1= +√(-k²+4k+4)
X2 = -√(-k²+4k+4)
Ora dobbiamo fare in modo che la loro distanza sia 4
Quindi porre | X1-X2 | = 4
√(-k²+4k+4) -[-√(-k²+4k+4)] =4
√(-k²+4k+4) + √(-k²+4k+4)] =4
2*√(-k²+4k+4) = 4
Dividiamo per 2
√(-k²+4k+4) = 2
Eleviamo alla seconda
-k²+4k+4 = 4
-k²+4k+4-4 = 0
-k²+4k = 0
Raccogliano k
K (-k+4)= 0
Abbiamo 2 soluzioni
1) K= 0
2) -k+4 = 0. ----> -k = -4. ----> k= 4
PUNTO D: TROVARE EQUAZIONE DI UNA SECONDA CIRCONFERENZA CONCENTRICA DI AREA A = 20π
Dato che l'altra circonferenza è concentrica a quella iniziale, il centro avrà le stesse coordinate
C (-a/2 ; -b/2)
Dato che la a e la b della prima circonferenza sono rispettivamente 0 e -4
Sapremo che le coordinate del centro saranno C (0;2) dato che -0/2 = 0 e -(-4)/2= 4/2 =2
Dato che la seconda circonferenza è concentrica, sia la a che la b saranno uguali perché le coordinate del centro deve avere le stesse coordinate
Quindi già sappiamo a2 = 0. b2= -4
Ci manca solo la variabile c
L'area del cerchio si misura con la formula
A= πr² che dev'essere essere uguale a 20π
πr²=20π
Dividiamo per π
r² = 20. -----> r= √20
In questo caso non si mette ± perché il raggio è un segmento e la lunghezza non può essere negativa
r = √20 = √(4*5) = 2*√5
La formula per trovare il raggio è
r = √( a²/4 + b²/4 - c)
a sappiamo che è 0
b sappiamo che è -4
r = √(0+ 16/4 - c)
r = √(4-c)
Sappiamo pure da poco fa che il raggio dev'essere uguale a r = 2*√5
2√5 = √(4-c)
Eleviamo alla seconda
4*(√5)² = 4-c
4*5 = 4-c
20 = 4-c
E ci isoliamo la c
-c = 20-4 = 16
C = -16
Quindi l'equazione della seconda circonferenza è
x²+y²-4y-16 = 0
