Faremo riferimento all'equazione canonica dell'ellisse, cioè $ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$
Nel nostro caso
$ \frac{x^2}{k+3} + \frac{y^2}{4} = 1$
Per essere una ellisse è necessario che k sia maggiore di -3.
$ k \gt -3$
.
a. Ellisse con fuochi sull'asse delle y.
Tale condizione si verifica se a < b cioè k+3 < 4 ⇒ k < 1
Considerando i due vincoli, per essere una ellisse con fuochi sull'asse delle y è necessario che
$-3 \lt k \lt 1$
.
b. Ellisse con fuochi sull'asse delle x ed eccentricità e = 2/3
- fuochi sull'asse delle x si verifica se a > b ⇒ k > 1
- c² = a² - b² = k+3 - 4 = k - 1
- e = c / max{a,b} = √((k-1) / (k+3)) = 2/3 ⇒ k = 21 / 5
dalla quale ricaviamo
$ \frac {5x^2}{36} + \frac {y^2}{4} = 1$
.
Il punto P(9/5, 8/5) ,oltre a essere un punto di tangenza, deve giacere sull'ellisse. Vediamo per quale valore di k questo fatto è vero.
$ \frac{(\frac{9}{5})^2}{k+3} + \frac{(\frac{8}{5})^2}{4} = 1$
La cui soluzione è k = 6
L'ellisse cercata ha equazione
$ \frac {x^2}{9} + \frac {x^2}{4} = 1$
.
A essere precisi, occorre un'ultima verifica e cioè che l'ellisse trovata sia tangente in P(9/5, 8/5) alla retta r: x + 2y = 5.
Impostiamo il sistema
$ \left\{\begin{aligned} \frac {x^2}{9} + \frac {x^2}{4} &= 1 \\ x + 2y &= 5 \end{aligned} \right.$
che da una sola soluzione x = 9/5 & y = 8/5.
Verifica completata positivamente.