Determina per quale valore del parametro k la seguente curva:
$$
\frac{x^2}{k+3}+\frac{y^2}{4}=1
$$
a) Rappresenta un'ellisse con i fuochi sull'asse $y_{\text {; }}$
b) Rappresenta un'ellisse con i fuochi sull'asse $x$ ed eccentricità $e=2 / 3$;
c) Rappresenta un'ellisse tangente nel suo punto $P\left(\frac{9}{5} ; \frac{8}{5}\right)$ alla retta di equazione $y=-\frac{1}{2} x+\frac{5}{2}$.
2168
punti
Livello 2
Faremo riferimento all'equazione canonica dell'ellisse, cioè $ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$
Nel nostro caso
$ \frac{x^2}{k+3} + \frac{y^2}{4} = 1$
Per essere una ellisse è necessario che k sia maggiore di -3.
$ k \gt -3$
.
a. Ellisse con fuochi sull'asse delle y.
Tale condizione si verifica se a < b cioè k+3 < 4 ⇒ k < 1
Considerando i due vincoli, per essere una ellisse con fuochi sull'asse delle y è necessario che
$-3 \lt k \lt 1$
.
b. Ellisse con fuochi sull'asse delle x ed eccentricità e = 2/3
dalla quale ricaviamo
$ \frac {5x^2}{36} + \frac {y^2}{4} = 1$
.
Il punto P(9/5, 8/5) ,oltre a essere un punto di tangenza, deve giacere sull'ellisse. Vediamo per quale valore di k questo fatto è vero.
$ \frac{(\frac{9}{5})^2}{k+3} + \frac{(\frac{8}{5})^2}{4} = 1$
La cui soluzione è k = 6
L'ellisse cercata ha equazione
$ \frac {x^2}{9} + \frac {x^2}{4} = 1$
.
A essere precisi, occorre un'ultima verifica e cioè che l'ellisse trovata sia tangente in P(9/5, 8/5) alla retta r: x + 2y = 5.
Impostiamo il sistema
$ \left\{\begin{aligned} \frac {x^2}{9} + \frac {x^2}{4} &= 1 \\ x + 2y &= 5 \end{aligned} \right.$
che da una sola soluzione x = 9/5 & y = 8/5.
Verifica completata positivamente.
6018
punti
Livello 2
@cmc cmc, grazie sempre della tua disponibilità. Tutto chiaro una domanda, questi 2 passaggi perché? e perchè?
e = c / max{a,b}...questo cosa vuol dire?
Grazie mille.
@ ALBY
i) max{a, b} significa scegli il massimo nell'insieme composto tra i due numeri "a" e "b".
Fa parte della definizione estesa dell'eccetricità.
Invece di dire:
-) "Se a > b Allora e = c/a"
-) "Se invece a < b Allora e = c/b"
si condensa tutto in una singola frase e = c / max{a, b}
ii)
La distanza tra i due fuochi si indica con
F₁F₂ = 2c
dove nel nostro caso con a > b
c² = a² - b² =
dall'equazione dell'ellisse si ricava a² = k+3 mentre b² = 4 per cui
c² = a² - b² = k - 1
@cmc Tutto chiaro grazie mille cmc.
