[Risolto] CIRCONFERENZA

Problema:

Determina le equazioni delle rette passanti per P(9;18) e tangenti alla circonferenza di equazione γ: x²+y²-8x-6y=0.

Infine, determina l'equazione della circonferenza simmetrica a quella data rispetto all'asse y=-2.

Soluzione:

Per trovare le rette passanti per il punto P e tangenti alla circonferenza è necessario trovare un insieme di rette generiche passanti per P e porle a sistema con l'equazione della circonferenza applicando la condizione di tangenza ∆=0.

{$r: y=m(x-9)+18$, $x²+y²-8x-6y=0$, $∆=0$} 

$∆=(-18m²+30m-8)²-4(m²+1)(81m²+216-270m)=-800+600m=0$ $\rightarrow m=\frac{4}{3}$

Si ha dunque che la retta tangente alla circonferenza risulta essere $r: y=\frac{4}{3}(x-9)+18$, inoltre per costruzione è anche tangente alla circonferenza la retta passante per P $x=9$ dato che la circonferenza presenta raggio pari a cinque e centro in $C(4;3)$.

Per determinare la circonferenza simmetrica all'asse y=-2 è opportuno riscrivere l'equazione della circonferenza data come $(x-4)²+(y-3)²=5²$. Per ottenere la circonferenza richiesta è dunque necessario trovare un centro C' tale che $C'(x_c;-2-|d|)=(4;-2-|3+2|)=(4;-7)$, ove d indica la distanza tra il centro C e la sua proiezione sull'asse y=-2. 

Una volta trovato il punto C' è possibile scrivere l'equazione della circonferenza richiesta come:

$π: (x-4)²+(y+7)²=5²$

L'immagine che segue è stata realizzata tramite l'elaboratore grafico Desmos.