[Risolto] CIRCONFERENZA

Riscriviamo l'equazione del fascio nelle due forme

$Γ(k): x^2+y^2+x-2y + k(-x+y) = 0$

$Γ(k): x^2+y^2 + (1-k) x+ (k-2)y = 0$

a.    

⊳ Le generatrici sono

1. una circonferenza di centro C(-1/2, 1) e raggio r = √5 / 2 di equazione x² + y² + x - 2y = 0
2. una retta (circonferenza degenere) di equazione y = x
3. l'asse radicale ha equazione y = x
4. coefficiente angolare dell'asse radicale. m = 1 

⊳ Punti base. Si ottengono risolvendo il sistema composto dalle due generatrici. Le due soluzioni sono

O(0, 0) & A(1/2, 1/2)

b.  Determiniamo l'equazione dell'asse dei centri. Il centro delle circonferenze che cerchiamo deve appartenere all'asse dei centri e per ipotesi all'asse radicale. Ne consegue che sarà il punto di intersezione tra le due rette.

1. coefficiente angolare dell'asse dei centri. m' = -1 (asse dei centri è ┴ all'asse radicale)
2. tipo equazione dell'asse dei centri y = - x + q
3. ricaviamo q introducendo i valori del centro C(-1/2, 1) della generatrice.  ⇒  q = 1/2
4. equazione dell'asse dei centri y = - x + 1/2
5. Intersezione tra i due assi. $C_a = (\frac{1}{4}, \frac{1}{4})$
6. Con riferimento al coefficiente della x del fascio (versione 2) ricaviamo

$ \frac {k-1}{2} = \frac{1}{4} \quad \implies \quad k = \frac{3}{2}$

La circonferenza esiste e ha equazione 

$ x^2+y^2 - \frac{x}{2} - \frac{y}{2}$

c.   

Introduciamo le coordinate del punto P(1, -1) nell'equazione del fascio Γ(k) e determiniamo i valori di k che la rendono vera.

1 + 1 + 1 + 2 - k - k = 0  ⇒ k = 5/2

L'equazione della circonferenza sarà

$ x^2+y^2 - \frac{3x}{2} + \frac {y}{2}$