Nell'equazione della generica circonferenza Γ in forma normale standard
* Γ ≡ (x - a)^2 + (y - b)^2 = q = r^2
ci sono tre parametri: raggio r (o q = r^2) e coordinate del centro C(a, b).
Se uno o più fra {a, b, q} è funzione di un parametro k allora l'equazione rappresenta il fascio Γ(k) nel quale si possono distinguere tre tipi di circonferenza
* complessa, di raggio immaginario se q < 0
* reale, ma degenere sul centro C(a, b) se q = 0
* reale e non degenere, di raggio reale positivo se q > 0
------------------------------
Nel caso in esame, il fascio
* Γ(k) ≡ x^2 + y^2 - 2*k*x - 3*k = 0 ≡
≡ (x - k)^2 + y^2 = (k + 3)*k
dà una circonferenza
* complessa, di raggio immaginario se - 3 < k < 0
* reale, ma degenere sul centro C(k, 0) se k = - 3 oppure k = 0
* reale e non degenere, di raggio reale positivo se k < - 3 oppure k > 0
---------------
L'asse centrale è, ovviamente, l'asse x: y = 0; b non dipende da k.
------------------------------
Risposte ai quesiti
a) vedi sopra
b) vincolo d'appartenenza: (1 - k)^2 + 1^2 = (k + 3)*k ≡ k = 2/5
c) (x + y = - 2) & (y = 0) ≡ C(k, 0) = (- 2, 0) → Γ(- 2) è complessa, di raggio immaginario
d) (k + 3)*k = 10 ≡ k = - 5 oppure k = 2
e) (x + y + 2 = 0) & ((x - k)^2 + y^2 = (k + 3)*k) ≡
≡ A((- 2 + k - √Δ)/2, (- 2 - k + √Δ)/2) oppure B((- 2 + k + √Δ)/2, (- 2 - k - √Δ)/2)
e la distanza da eguagliare a quella richiesta è
* |AB| = √(2*Δ)
dove
* Δ(k) = k^2 + 2*k - 4
quindi
* |AB| = √(2*(k^2 + 2*k - 4)) = 2*√2 ≡ k = - 4 oppure k = 2
