Considera la circonferenza $\gamma: x^2+y^2+2 x-6 y+8=0$; nel fascio proprio di rette di centro $P(-1,1)$, determina:
a. le rette che distano $\frac{\sqrt{10}}{5}$ dal centro C di $\gamma$;
b. le rette tangenti a $\gamma$;
c. le rette che staccano su $\gamma$ una corda di misura $2 \sqrt{\frac{6}{5}}$.
[a. $y=3 x+4, y=-3 x-2$; b. $y=-x, y=x+2$; c. $y=2 x+3, y=-2 x-1]$
2164
punti
Livello 2
Svolgo a e b
x^2 + y^2 + 2·x - 6·y + 8 = 0
riconosco il centro: [-1, 3]
Fascio proprio di rette per [-1, 1]
y - 1 = m·(x + 1)---> y = m·x + m + 1
equazione implicita: m·x - y + m + 1 = 0
formula della distanza di [-1, 3] da tale retta:
d = ABS(m·(-1) - 3 + m + 1)/√(m^2 + (-1)^2) = √10/5
2/√(m^2 + 1) = √10/5
risolvo ed ottengo:
m = -3 ∨ m = 3
quindi rette:
y = (-3)·x + -3 + 1---> y = - 3·x - 2
y = 3·x + 3 + 1---> y = 3·x + 4
--------------------------------
Rette tangenti:
{x^2 + y^2 + 2·x - 6·y + 8 = 0
{y = m·x + m + 1
per sostituzione:
x^2 + (m·x + m + 1)^2 + 2·x - 6·(m·x + m + 1) + 8 = 0
Sviluppo ed ottengo:
x^2·(m^2 + 1) + 2·x·(m^2 - 2·m + 1) + (m^2 - 4·m + 3) = 0
Δ/4 = 0 condizione di tangenza
(m^2 - 2·m + 1)^2 - (m^2 + 1)·(m^2 - 4·m + 3) = 0
sviluppo ed ottengo:
2·m^2 - 2 = 0---> m = -1 ∨ m = 1
quindi rette:
y = (-1)·x + -1 + 1---> y = -x
y = 1·x + 1 + 1---> y = x + 2
90141
punti
Genius II
