[Risolto] CIRCONFERENZA.

Un fascio di coniche la cui equazione sia priva del termine rettangolare e che abbia eguali i coefficienti dei termini quadratici può rappresentare solo circonferenze
* Γ ≡ (x - a)^2 + (y - b)^2 = q = r^2
di tre tipi secondo il segno del quadrato del raggio
* per q < 0: circonferenze complesse non degeneri con raggio immaginario positivo.
* per q = 0: l'unica eventuale circonferenza degenere sul proprio centro con raggio zero.
* per q > 0: circonferenze reali non degeneri con raggio reale positivo.
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Il fascio dato ha parametrici il termine noto e quelli lineari
* Γ(k) ≡ x^2 + y^2 - 2*k*x - 2*(k - 1)*y + k + 2 = 0 ≡
≡ (x - k)^2 + (y + 1 - k)^2 - k^2 - (1 - k)^2 + k + 2 = (16*(k - 3/4)^2 - 17)/8
con
* centro C(k, k - 1)
* luogo dei centri y = x - 1
* quadrato del raggio q = (16*(k - 3/4)^2 - 17)/8
* raggio r = √((16*(k - 3/4)^2 - 17)/8)
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Risposte ai quesiti
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a) Tipi
* per (3 - √17)/4 < k < (3 + √17)/4: circonferenze complesse non degeneri con raggio immaginario positivo.
* per k = (3 ± √17)/4: due circonferenze degeneri sul proprio centro con raggio zero.
* per k < (3 - √17)/4 oppure k > (3 + √17)/4: circonferenze reali non degeneri con raggio reale positivo.
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b) Per l'origine
Termine noto della forma canonica nullo: k + 2 = 0 ≡ k = - 2 (raggio r = √26 > 0)
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c) Con yC = 0: k = 1, raggio immaginario

a) deve essere r^2 >= 0

a^2/4 + b^2/4 - c >= 0

4k^2/4 + 4(k - 1)^2/4 - k - 2 >= 0

k^2 + k^2 - 2k + 1 - k - 2 >= 0

2k^2 - 3k - 1 >= 0

k = (3 +- rad(9 + 8))/4

intervalli esterni

k <= (3 - rad(17))/4 V k >= (3 + rad(17))/4

b) deve essere c = 0

k + 2 = 0 => k = -2

verifica di accettabilità

2*4 -3*(-2) - 1 = 8 + 6 - 1 > 0

OK : k = -2

c) per avere yC = 0

deve risultare -b/2 = 0 => b = 0 => k - 1 = 0 => k = 1

Verifica di accettabilità

2*1^2 - 3*1 - 1 = 2 - 4 = -2 < 0

NO : nessun valore di k.