Considerazione
I punti A(- 4, 0) e B(2*√2, 2*√2) sono gli estremi del segmento AB che
* ha punto medio M(√2 - 2, √2)
* è lungo |AB| = c = 4*√(√2 + 2)
* ha pendenza m = √2 - 1
* giace sulla retta AB ≡ s ≡ (√2 - 1)*(x + 4)
* ha per asse la retta q per l'origine, luogo dei punti equidistanti dagli estremi,
** q ≡ y = - (√2 + 1)*x
con pendenza m' = - √2 - 1
Quesito a
Il centro della circonferenza γ, intersezione fra l'asse x e l'asse q, è ovviamente O(0, 0), il raggio r è la comune distanza
* |OA| = |OB| = r = 4
e l'equazione è
* γ ≡ x^2 + y^2 = 16 ≡ x^2 + y^2 - 16 = 0
Quesito b
La tangente in un punto su γ si scrive per sdoppiamento
* tA ≡ x*(- 4) + y*0 - 16 = 0 ≡ x = - 4
* tB ≡ x*2*√2 + y*2*√2 - 16 = 0 ≡ y = 4*√2 - x
Quesito c
* tA & tB ≡ (x = - 4) & (y = 4*√2 - x) ≡ C(- 4, 4*(√2 + 1))
Quesito d
L'area S richiesta è la differenza fra quelle del triangolo ABC e del segmento circolare incluso.
L'area del triangolo ABC è S(ABC) = 4*(4 + 3*√2)
L'area del segmento circolare da sottrarre è
* S(seg(γ)) = (r^2)*arccos(1 - h/r) - d*√(r^2 - d^2)
dove
* r = 4 è il raggio di γ
* d = √(r^2 - (c/2)^2) = 2*√(2 - √2) è la distanza della corda AB dal centro O di γ
* h = r - d = 2*(2 - √(2 - √2)) è la freccia del segmento circolare
quindi
* S(seg(γ)) = (4^2)*arccos(1 - 2*(2 - √(2 - √2))/4) - 2*√(2 - √2)*√(4^2 - (2*√(2 - √2))^2) =
= 16*arccos(√(2 - √2)/2) - 2*√(2 - √2)*2*√(2 + √2) =
= 16*arccos(√(2 - √2)/2) - 4*√2
* S = S(ABC) - S(seg(γ)) = 4*(4 + 3*√2) - (16*arccos(√(2 - √2)/2) - 4*√2) =
= 16*(√2 + 1 - arccos(√(2 - √2)/2)) ~= 19.77786107643076
mentre il risultato atteso è
* S = 16 + 16*√2 - 6*π ~= 19.77786107643076
Ahitè!
Ti tocca dimostrare che 16*arccos(√(2 - √2)/2) = 6*π.
