Scrivi le equazioni delle circonferenze passanti per $A(2,1)$, aventi il centro sulla retta di equazione $2 x+y-3$ e tangenti all'asse $x$.
$$
\left[x^2+y^2+2 x-10 y+1=0 ; x^2+y^2-2 x-2 y+1=0\right\}
$$
Salve potete iutarmi a risolvere questo problema.Grazie
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Livello 1
Posizione del centro
2·x + y - 3 = 0---> y = 3 - 2·x
quindi: [x, 3 - 2·x] sono le coordinate
Quindi scriviamo:
(x - 2)^2 + (3 - 2·x - 1)^2 = (3 - 2·x)^2
(esprime il fatto che il centro sia equidistante da A(2,1) e dall'asse x)
risolvo ed ottengo: x = -1 ∨ x = 1
Se x = -1
[-1, 3 - 2·(-1)]-----> [-1, 5] è centro di una circonferenza
di raggio:
r^2 = (2 + 1)^2 + (1 - 5)^2----> r^2 = 25
quindi: (x + 1)^2 + (y - 5)^2 = 25
anche: x^2 + y^2 + 2·x - 10·y + 1 = 0
Se x = 1
[1, 3 - 2·1]-----> [1, 1] è centro dell'altra circonferenza
di raggio:
r^2 = (2 - 1)^2 + (1 - 1)^2----> r^2 = 1
quindi: (x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1
anche: x^2 + y^2 - 2·x - 2·y + 1 = 0
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Genius II
@lucianop dovrei creare un sistema
In che senso?
@lucianop cioè noi in classe quando facciamo questa tipologia di esercizi usiamo un sistema a 3
La retta di equazione
* r ≡ 2*x + y - 3 = 0 ≡ y = 3 - 2*x
è il luogo geometrico dei possibili centri C(k, 3 - 2*k) che, distando 3 - 2*k dall'asse x, individuano il fascio che ha r come asse centrale
* Γ(k) ≡ (x - k)^2 + (y - (3 - 2*k))^2 = (3 - 2*k)^2
La condizione di passare per A(2, 1) impone il vincolo
* (2 - k)^2 + (1 - (3 - 2*k))^2 = (3 - 2*k)^2 ≡ k = ± 1
da cui
* Γ(- 1) ≡ (x + 1)^2 + (y - 5)^2 = 25
* Γ(+ 1) ≡ (x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5Bx*y%3D0%2C%28x--1%29%5E2%3D25-%28y-5%29%5E2%2C%28x-1%29%5E2%3D1-%28y-1%29%5E2%5D
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Genius I
