[Risolto] circonferenza

x^2 + y^2 - 2·x + 4·y = 0

riconosco il centro :

[1, -2]

il raggio:

r = √(α^2 + β^2 - c)= √(1^2 + (-2)^2 - c) = √(5 - c)

c=0----> r = √5

(possiamo anche scriverla: (x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 5 )

Punto P: [2, 5]

d= distanza di P dal centro = √((2 - 1)^2 + (5 + 2)^2)

d = 5·√2 quindi  d>r P esterno

Calcolo di R e di S attraverso la polare:

2·x + 5·y - 2·(x + 2)/2 + 4·(y + 5)/2 = 0

(utilizzo formule di sdoppiamento come se P appartenesse alla circonferenza)

x + 7·y + 8 = 0 (polare)

{x^2 + y^2 - 2·x + 4·y = 0

{x + 7·y + 8 = 0

Risolvo ed ottengo:

[ x = -1 ∧ y = -1 ; x = 16/5 ∧ y = - 8/5]

( per i punti R ed S)

Calcolo area A triangolo PRS

[-1, -1]

[16/5, - 8/5]

[2, 5]

[-1, -1]

Α = 1/2·ABS(- 1·(- 8/5) + 16/5·5 + 2·(-1) - (- 1·5 + 2·(- 8/5) + 16/5·(-1)))

Α = 27/2

La successione d'azioni indotta dal testo è inutilmente onerosa; è assai più spicciativo fare come segue.
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A) Dalla forma normale canonica della conica Γ
* Γ ≡ x^2 + y^2 - 2*x + 4*y = 0
calcolare, per sdoppiamento, la retta polare p del polo P(2, 5)
* p ≡ x*2 + y*5 - 2*(x + 2)/2 + 4*(y + 5)/2 = 0 ≡ y = - (x + 8)/7
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B) Calcolare le intersezioni di p con Γ
* p & Γ ≡ (y = - (x + 8)/7) & (x^2 + y^2 - 2*x + 4*y = 0) ≡
≡ R(- 1, - 1) oppure S(16/5, - 8/5)
NOTA
Ciò soddisfà a due consegne: verifica (due intersezioni reali distinte) che P è esterno a Γ e localizza R e S.
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C) Per la consegna implicita in "e delle tangenti" basta tirare le congiungenti
* PR ≡ y = 2*x + 1
* PS ≡ y = 16 - 11*x/2
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D) L'area del triangolo RPS, calcolata col metodo riportato di seguito, è di 27/2.
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METODO GENERALE per il calcolo dell'area S del triangolo ABC di vertici
* A(a, p), B(b, q), C(c, r)
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Scegliere secondo convenienza uno dei vertici, p.es. C, ed eseguire le sottrazioni di coppie
* CA ≡ A - C = (a, p) - (c, r) = (a - c, p - r)
* CB ≡ B - C = (b, q) - (c, r) = (b - c, q - r)
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Eseguire l'operazione
* CA × CB = (a - c, p - r) × (b - c, q - r) = a*(q - r) + b*(r - p) + c*(p - q)
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Dimezzare il valore assoluto del risultato dà il valore dell'area
* S(ABC) = |CA × CB|/2 = |a*(q - r) + b(r - p) + c*(p - q)|/2