[Risolto] Circonferenza

Ciao anche a te, e molte grazie per aver preferito il "ciao" asincrono all'insulso "buongiorno" che stupidamente presuppone che io legga la domanda prima che faccia buio.
Mi compiaccio anche del fatto che tu sia "riuscita a svolgere la prima parte", ma è una notizia priva di effetti pratici: se tu non pubblichi i risultati io devo ricalcolarmeli da me visto che poi servono.
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1) La prima parte chiede, se esiste, il circumcerchio del triangolo delimitato dalle rette
* r ≡ y = 3*x - 7
* s ≡ y = x + 1
* t ≡ y = - 2*x - 2
Non dettaglio passaggi visto che tu sei già "riuscita a svolgere la prima parte".
* vertici A(4, 5), B(- 1, 0), C(1, - 4)
Il circumcentro K(xK, yK) è l'unico punto del piano equidistante dai vertici e tale comune distanza è il circumraggio R; il circumcerchio è quindi
* Γ ≡ (x - xK)^2 + (y - yK)^2 = q = R^2
e si determina risolvendo il sistema
* |AK|^2 = |BK|^2 = |CK|^2 = R^2
ottenendo
* Γ ≡ (x - 4)^2 + y^2 = 25
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NOTE (utili per la seconda parte)
1a) col Metodo esposto in fondo si ha l'area S(ABC) = 15
1b) la corda AB, sulla retta s, è delimitata da - 1 <= x <= 4
1c) il "minore degli archi AB" è
* ((x - 4)^2 + y^2 = 25) & (- 1 <= x <= 4) & (y >= x + 1) ≡
≡ (y = √((x + 1)*(9 - x))) & (- 1 <= x <= 4)
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2) COME IMPOSTARE LA RISOLUZIONE della seconda parte
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2a) Identificare le coordinate di P, cursore del "minore degli archi AB"
* P(k, √((k + 1)*(9 - k))) & (- 1 <= k <= 4)
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2b) Determinare l'area, funzione di k, S(PBC).
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2c) Risolvere in k, con (- 1 <= k <= 4), l'equazione
* S(PBC) = (8/15)*S(ABC) = 8
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2d) Sostituire in P(k, √((k + 1)*(9 - k)))
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METODO GENERALE per il calcolo dell'area S del triangolo ABC di vertici
* A(a, p), B(b, q), C(c, r)
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Scegliere secondo convenienza uno dei vertici, p.es. C, ed eseguire le sottrazioni di coppie
* CA ≡ A - C = (a, p) - (c, r) = (a - c, p - r)
* CB ≡ B - C = (b, q) - (c, r) = (b - c, q - r)
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Eseguire l'operazione
* CA × CB = (a - c, p - r) × (b - c, q - r) = a*(q - r) + b*(r - p) + c*(p - q)
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Dimezzare il valore assoluto del risultato dà il valore dell'area
* S(ABC) = |CA × CB|/2 = |a*(q - r) + b(r - p) + c*(p - q)|/2

Seconda parte:

Se hai svolto la prima parte hai trovato l'equazione della circonferenza 

x²+y²-8x-9=0

I triangoli ABC e PBC hanno base comune BC. Il rapporto tra le aree è pari quindi al rapporto delle distanze dei punti A e P(x;y) dalla retta y= - 2x - 2

Distanza di A: dA= 15/radice 5

Distanza di P(x;y) con - 1<=x<=4; 0<=y<=5: dP= (2x+y+2)/ radice (5)

(tolgo il modulo poiché visti i vincoli geometrici su x, y la quantità 2x+y+2 è sempre positiva o nulla) 

Imponendo la condizione richiesta si ricava:

(2x+y+2)/radice (5) =8/radice (5)

{ 2x+y-6=0

{x²+y²-8x-9=0

L'intersezione della retta con la conica fornisce le coordinate del punto P. Per sostituzione 

5x² - 32x + 27 = 0

Da cui si ricava 

x1=1 (accettabile y1=4>0 ; x2 = 27/5 non accettabile essendo y2<0)

P(1;4)