N 289
Trova le equazioni delle circonferenze rappresentate nelle figure
N 289
Trova le equazioni delle circonferenze rappresentate nelle figure
ciao,
Dal grafico abbiamo:
il centro C della circonferenza si trova sulla retta di equazione $x=3$
$O(0;0)$
$A(2;4)$
Dobbiamo quindi determinare la circonferenza che passa per i punti A e O, avente il centro sulla retta.
Poiché OA è una corda della circonferenza, allora l’asse di OA passa per il centro.
Determiniamo l'equazione dell'asse di OA sapendo che è la retta perpendicolare al segmento e passante per il suo punto medio.
Le coordinate del punto medio M di OB sono (1; 2).
Il coefficiente angolare di OA è
$m=\frac{y_{A}-y_0}{x_A-x_0}=\frac{4}{2}=2$,
quindi il coefficiente angolare dell'asse è
$m'=-\frac{1}{m}=-\frac{1}{2}$
L'equazione dell'asse è:
$y-y_M=m'(x-x_M)$
Ossia:
$y-2=-\frac{1}{2}(x-1)$
$y=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}+2$
$y=-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$
Determiniamo le coordinate del centro intersecando l’asse di OA con la retta data:
$ \begin{cases}y=-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}\\x=3\end{cases}$
$ \begin{cases}y=-\frac{1}{2}(3)+\frac{5}{2}\\x=3\end{cases}$
$ \begin{cases}y=-\frac{3}{2}+\frac{5}{2}\\x=3\end{cases}$
$ \begin{cases}y=1\\x=3\end{cases}$
Il centro è:
$C(3;-1)$
Calcoliamo la misura del raggio:
$ r=\overline{CA}=\sqrt{(3-2)^2+(1-4)^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$
Quindi l'equazione della circonferenza è:
$(x-x_C)^2+(y-y_C)=r^2$
$(x-3)^2+(y-1)=( \sqrt{10})^2$
$x^2-6x+9+y^2-2y+1=10
$x^2+y^2-6x-2y=0$
saluti ?
Ciao!
Sappiamo che la circonferenza che stiamo cercando passa per i punto $O(0;0)$ e $A(2;4)$ e inoltre l'ascissa del centro è $\alpha = 3$.
Data la condizione sul centro, l'equazione generica della circonferenza è data da:
$(x-3)^2 + (y-\beta)^2 = r^2$, con $\beta=$ ordinata del centro.
Mettiamo le altre due condizioni (di passaggio per i punto A e O) a sistema:
$\begin{cases} (0-3)^2 + (0-\beta)^2 = r^2 \\ (2-3)^2 + (4-\beta)^2 = r^2 \end{cases}$
svolgiamo i conti:
$\begin{cases} 9+ \beta^2 = r^2 \\ 1 + 16 +\ beta^2 -8\beta = r^2 \end{cases} $
usiamo la tecnica del confronto:
$ 9 + \beta = 17+\beta^2 -8\beta $
$8\beta = 17-9 \Rightarrow \beta = \frac{8}{-8} = 1 $
quindi l'ordinata del centro è $\beta = -1$
Calcoliamo il raggio usando la prima equazione del sistema: $ r^2 = 9 +(-1)^2 = 10 $
allora la circonferenza ha equazione
$(x-3)^2 +(y+1)^2 = 10 $
$x^2 + y^2 -6x + 2y = 0 $