[Risolto] Cinematica rotazionale

fo = 0,96 giri/s; (frequenza iniziale)

velocità angolare iniziale omega: ωo,

ωo = 2  * 3,14 * fo;

ωo = 2 * 3,14 * 0,96 = 6,03 rad/s;

ω finale = 0 rad/s; si ferma.

Delta t = 2,4 minuti = 2,4 * 60 s = 144 s;

accelerazione angolare  alfa:

α = (ω - ωo ) / (Delta t);

α = (0 - 6,03) / 144 = - 0,042 rad/s^2; (decelerazione);

angolo percorso theta (θ), si misura in radianti: il moto è circolare decelerato; 

θ = 1/2 * α * (Delta t)^2 + ωo * (Delta t);

θ = 1/2 * (- 0,042 )* 144^2 + 6,03 * 144;

θ = 434 radianti;

un giro (360°), misura 2 * π rad = 6,28 rad;

Numero di giri = 434 / 6,28 = 69 giri.

ωo = 6,03 rad/s;

ω = 2 * 3,14 * 0,48 = 3,01  rad/s;

α = - 0,042 rad/s^2;

α = (ω - ωo) / t;

α * t = ω - ωo;

t = (3,01 - 6,03) / (- 0,042);

t = 72 s, (tempo per rallentare fino a 0,48 giri/s)

θ = 1/2 * (- 0,042 )* 72^2 + 6,03 * 72;

θ = - 108,9 + 434,2 = 325,3 rad;

Numero di giri= 325,3 / (2 * π) = 52 giri.

Ciao @ludo2003

N1= N - [(1/4)*wi²] / (4*pi*0,042) =~ 52 giri

Determino N1 come differenza tra il numero di giri totali (calcolati al punto A) e il numero di giri necessari per fermarsi dal momento in cui w= 0,48 giri/sec (= 1/2 * 0,96  giri/s) 

Un ventilatore da soffitto ruota a 0,96 giri/s. Quando viene spento essere lenta costantemente fino a fermarsi in 2,4 minuti.

a) quanti giri n compie il ventilatore in questo intervallo di tempo?

n = Vi/2*t = 0,96/2*144 = 69,12 giri

b) utilizzando il risultato ottenuto in a), calcola il numero di giri che il ventilatore deve compiere perché la sua velocità diminuisca da 0,96 giri/s a 0,48 giri/s 

ad accelerazione a costante, dimezzare la velocità iniziale comporta un tempo t' pari alla metà del tempo di arresto , vale a dire 60*1,2 = 72 s 

n' = (0,96+0,48)/2*t' = 1,44/2*72 = 7,2^2 = 51,84 giri 

IMPOSTAZIONE
---------------
Interpretando
* "essere lenta costantemente" come "rallenta con accelerazione angolare uniforme"
* "0,96 giri/s" come "(48/25)*π rad/s"
* "0,48 giri/s" come "(24/25)*π rad/s"
* "2,4 minuti" come "144 s"
si modella il problema come moto circolare uniformemente accelerato
* θ(t) = Θ + (Ω - (a/2)*t)*t
* ω(t) = Ω - a*t
con
* t = secondi dallo spegnimento
* θ(t) = posizione angolare in radianti all'istante t
* ω(t) = dθ/dt = velocità angolare in rad/s all'istante t
* a = dω/dt = accelerazione angolare in rad/s^2 uniforme nello spazio e costante nel tempo
* Θ = θ(0) = 0 = posizione angolare in radianti all'istante zero
* Ω = ω(0) = (48/25)*π = velocità angolare in rad/s all'istante zero
* T = 144 s = tempo d'arresto
ottenendo
* θ(t) = ((48/25)*π - (a/2)*t)*t
* ω(t) = (48/25)*π - a*t
------------------------------
RISOLUZIONE
---------------
* "fino a fermarsi in 2,4 minuti" ≡ ω(T) = (48/25)*π - a*144 = 0 ≡ a = π/75 rad/s^2
da cui
* θ(t) = (π/150)*(288 - t)*t
* ω(t) = (π/75)*(144 - t)
---------------
a) quanti giri compie il ventilatore in questo intervallo di tempo?
* θ(T) = (π/150)*(288 - 144)*144 = (3456/25)*π radianti
* θ(T)/(2*π) = 1728/25 = 69.12 giri
---------------
b) Calcolare l'istante "x > 0" in cui la velocità angolare è calata a (24/25)*π rad/s e il il numero di giri completati fino all'istante x
* ω(x) = (π/75)*(144 - x) = (24/25)*π ≡ x = 72 s
* θ(x) = (π/150)*(288 - 72)*72 = (2592/25)*π radianti
* θ(x)/(2*π) = 1296/25 = 51.84 giri