cinematica e dinamica di rotazione

M = I * α;  (Momento della forza)

I = momento d'inerzia = 1/2 m r^2;

I = 1/2 * 6,4 * 0,71^2 = 1,613 kgm^2; (momento d'inerzia della ruota);

α = (ω - ωo) / t =  accelerazione angolare del moto;

ωo = 1,22 rad/s; velocità angolare iniziale;

ω = 0 rad/s; 

α = (ω - ωo) / t;

α = (0 - 1,22) / t ) =  - 1,22/t;

si ferma in un angolo θ = 3/4 * (2 π) = 3/2 π rad;

θ = 1/2 α t^2 +  ωo t;  legge del moto;

1/2 * (- 1,22 / t) * t^2 + 1,22 * t = 3/2 π rad;

- 0,61 t + 1,22 t = 4,712 rad;

+ 0,61 t = 4,712;

t = 4,712 / 0,61 = 7,72 s; (tempo per fermarsi);

α =  - 1,22/t = - 1,22 / 7,72 = - 0,16 rad/s^2; (decelerazione della ruota);

M = I * α = 1,613 * (- 0,16) = - 0,26 Nm; (Momento torcente).

b) se la massa m raddoppia e il raggio dimezza, il momento d'inerzia dimezza:

I1 = 1/2 * (2m) * r^2/4 = 1/2 * (m * r^2 / 2) = I / 2;

Il momento M resta lo stesso;

M = I/2 * α;

α = 2M / I;  la decelerazione α raddoppia;

α = - 0,16 * 2 = - 0,32 rad/s^2;

si ferma in un tempo minore: t1 = t/2

t = 1,22 / 0,32 = 3,81 s; tempo per fermarsi;

l'angolo θ  diminuisce; diventa la metà.

θ1 = 1/2 α t^2 +  ωo t; 

θ1 = 1/2 * (- 0,32) * (3,81)^2 + 1,22 * 3,81 = 2,3 rad = 0,73 π rad.

Ciao @chiara_guarnaschelli

Lo svolgo a mano.

Alla ruota di un quiz televisivo viene impressa una velocità angolare iniziale ω di 1,22 rad/s. Essa si ferma dopo aver compiuto 3/4 di giro..

a) Calcola il momento torcente medio M esercitato sulla ruota, sapendo che è un disco di raggio r = 0,71 m e massa m = 6,4 kg.

momento di inerzia I = m/2*r^2 = 3,2*0,71^2 = 1,613 kg*m^2

2Θ = 4π*3/4 = 3π = ω*t

tempo t = 3π/1,22 = 7,725 s 

accelerazione angolare α = ω/t = 1,22/7,725 = 0,158 rad/s^2 

M = α*I = 1,613*0,158 = 0,255 N*m 

b) Se la massa della ruota viene raddoppiata e il suo raggio dimezzato, lo spostamento angolare che la ruota compie prima di fermarsi è maggiore, minore o uguale? Giustifica la risposta. (Assumi che il momento torcente medio esercitato sulla ruota non sia cambiato).

I' = 2*m/2*r^2/4 = I/2

α' = M/I' = 2M/I = 2α'

raddoppia l'accelerazione angolare, pertanto dimezza il tempo di arresto a pari velocità iniziale, il che comporta il dimezzamento dello spostamento angolare : si ferma in 3/8 di giro