[Risolto] Cilindro omogeneo con fune

Un cilindro omogeneo di massa mp = 15 kg è libero di ruotare attorno al proprio asse disposto orizzontalmente. Un sasso m fissato all'estremità di una fune avvolta attorno al cilindro cade con un'accelerazione di 2,4 m/s^2. Calcola la massa m del sasso e la tensione T della fune.

Il problema può essere affrontato e risolto in due modi come sotto riportato :

A) traslatoriamente

Al solo scopo inerziale , la massa  mp del cilindro può essere vista come una massa equivalente mpe = mp/2 da sommare alla massa del sasso m ; si ha : 

accelerazione a = g*m/(m+mpe)

2,4 (m+15/2) = 9,806m

2,4*7,5 = 7,406 m

m = 2,4*7,5 / 7,406 = 2,43 kg  

tensione T = m*(g-a) = 2,43*7,406 = 18,0 N 

B) rotativamente

Al solo scopo inerziale , la massa  appesa m  può essere vista come una massa equivalente me = 2m da sommare alla massa mc del cindro  ; si ha : 

Momento d'inerzia I = (m+15/2)*r^2

momento motore M = m*g*r 

accelerazione angolare α = a/r = M/I

2,4/r = m*g*r/(m+7,5)*r^2

il raggio r si elide

2,4*m+18 = g*m

massa appesa m = 18/(9,806-2,4) = 2,43 kg  

tensione T = m*(g-a) = 2,43*7,406 = 18,0 N 

F peso sasso = m * g;

m = massa del sasso;

momento d'inerzia del cilindro = 1/2 (m cilindro) r^2;

r = raggio del cilindro;

il cilindro ruota con accelerazione angolare α = a / r;

a = 2,4 m/s^2, accelerazione con cui scende il sasso,

a = α * r

Momento della forza  che fa ruotare il cilindro:  M = r * Fpeso = r * m * g ; 

Momento angolare del sistema: L = m * v * r + I * ω;

v = ω * r;

α = a / r;

Il momento della forza M  provoca la variazione del momento angolare L;

variano v e ω, le variazioni di velocità diventano accelerazioni

Momento della forza   M = d/dt (m * v * r + I * ω);    (conosci le derivate in matematica?)

M = m * a * r + I α ;

M = m * (α * r) * r + [1/2 (m cilindro) r^2] * α

r * m * g = m * (α r^2) + [1/2 (m cilindro)] * (α r^2)

 r * m * g = [m + 1/2 (m cilindro)] * (α r^2);

α = a / r;

r * m * g = [m + 1/2 (m cilindro)] * [(a / r) * r^2],   (il raggio r si semplifica, non serve).

m * g = [m + 1/2 *(m cilindro)] * a;

m * g = [2m + (m cilindro)] * a / 2;

2 m * g = 2 m a + (m cilindro) * a;

2m g - 2 m a = (m cilindro) * a;

2 m * (g - a) = (m cilindro) * a;

m = (m cilindro) * a / [2 * (g - a)];

m = 15 * 2,4 / [2 * (9,8 - 2,4)];

m = 36 / 14,8 = 2,43 kg ,  massa del sasso che scende; 

la tensione T è verso l'alto, positiva; il peso è verso il basso; la forza risultante sul sasso è verso il basso, negative.

F risultante sul sasso = - m * a

T - m g = - m * a;

T = m g - m * a ;

T = 2,43 * (9,8 - 2,4) =17,98  N = 18 N circa; tensione della fune.

Ciao  @andrea24

Avevo sbagliato ha ragione @remanzini_rinaldo

Ciao  @andrea24  (di nuovo)