Cilindro non degenere. Es.205

EX.205:

Il volume del cilindro è dato da:

v = pi·x^2·y

essendo y l'altezza variabile 0<y<h del cilindro inscritto nel cono.

Tale altezza vale:

y = h - h/r·x

infatti:

x = 0 , raggio nullo si ha per y=h

x = r , l'altezza del cilindro è nulla.

Quindi il volume del cilindro è dato dalla funzione:

V = pi·x^2·(h - h/r·x)------> V = pi·h·x^2·(r - x)/r con 0<x<r

In un cono di altezza h > 0 e con raggio di base r > 0 è inscritto un cilindro non degenere di raggio k, con
* 0 < k < r (la clausola "non degenere" esclude i "<=")
Le due consegne restano invariate, salvo sostituire k al posto di x.
Il nome x serve per istituire un riferimento Oxy su un piano assiale su cui localizzare
* A(- r, 0), B(r, 0), C(0, h), H(- k, 0), K(k, 0)
nel cui primo quadrante la retta
* BC ≡ y = h*(1 - x/r)
interseca la x = k in S(k, s) dove s = h*(1 - k/r)
------------------------------
Il volume del cilindro varia col raggio k con la solita legge area di base (π*k^2) per altezza (s), cioè
* (v(k) = π*h*(1 - k/r)*k^2) & (0 < k < r)
e, se ci tieni a usare il nome x,
* (v(x) = π*h*(1 - x/r)*x^2) & (0 < x < r)
che è proprio il risultato atteso.

Il cilindro circolare retto ha volume V = pi R^2 hc

ora R = x con 0 < x < r essendo il cilindro non degenere

inoltre (h - hc) : x = h : r

per similitudine fra i due triangoli rettangoli rappresentati nella sezione

h - hc = h x/r

hc = h - h x/r = h (r - x)/r

Allora V(x) = pi x^2 * h (r - x)/r = pi h x^2(r - x)/r con 0 < x < r