Cilindro e prisma

Stessa area di base;

L^2 = 3,14 * r^2

Area quadrato = Area cilindro

Area laterale = Perimetro * h;

ha l'area laterale minore il solido che ha il perimetro minore.

Perimetro del quadrato = 4 L ;

L = radice(Area);

Perimetro quadrato = 4 * radice(Area);

Area cilindro = π  * r^2;

r = radice(Area / π );

per il cilindro il perimetro è la circonferenza:

Circonferenza = 2 π r ;

Circonferenza =2 π radice(Area / π ) = radice(4 π^2 * Area / π );

Circonferenza = radice(4 π * Area);

4 radice(Area) = radice(4 π) * radice(Area);

semplifichiamo radice(Area); resta:

4 > radice(4π);

4 > radice(12,56);

4 > 3,54;

4 L > 2 π r

Quindi il perimetro del quadrato è maggiore della circonferenza,

il cilindro ha area laterale minore   (se l'area di base è la stessa).

@staedtler ciao

Esempio Area = 100 cm^2;

Perimetro quadrato = 4 * 10 = 40 cm;

raggio r = radice(100 / π) = 5,64 cm;

C = 2 * 3,14 * 5,64 = 35,44 cm;

C < 40 cm;

Area laterale prisma = 40 * h;

Area laterale cilindro = C * h = 35,44 * h ;

35,44 * h < 40 * h.

Ciao.

La superficie laterale del cilindro è meno estesa di quella del prisma a base quadrata.
Motivazione
A parità di area di base e altezza, il cilindro ha una superficie laterale minore rispetto al prisma. Questo accade perché la circonferenza (il perimetro del cerchio di base del cilindro) è minore del perimetro di un quadrato di area equivalente (la base del prisma).
Esempio
Consideriamo un cilindro e un prisma a base quadrata con area di base di 100 cm² e altezza di 10 cm.
* Cilindro:*
* Raggio di base: r = √(100/π) ≈ 5.64 cm
* Circonferenza di base: C = 2πr ≈ 35.45 cm
* Superficie laterale: Sl = C * h ≈ 354.5 cm²
* Prisma:*
* Lato di base: l = √100 = 10 cm
* Perimetro di base: P = 4l = 40 cm
* Superficie laterale: Sl = P * h = 400 cm²
Come si può notare, la superficie laterale del cilindro (354.5 cm²) è inferiore a quella del prisma (400 cm²).
In sintesi
La forma circolare della base del cilindro, che ha il perimetro minore a parità di area rispetto a un quadrato, comporta una superficie laterale minore rispetto a un prisma con la stessa area di base e altezza.

basta confrontare i perimetri di base : il minore vince 

quadrato : 

A = L^2

perimetro 2pq= 4L

cerchio : 

A = π/4*d^2

stessa A : 

L^2*4 = π*d^2

d  = 2L/√π

perimetro 2pc = πd = 2L*√π < 4L

Un cilindro e un prisma a base quadrata hanno la stessa area di base e la stessa altezza. Quale dei due solidi ha la superficie laterale meno estesa? Giustifica la risposta.

=========================================================

 L'area laterale minore è quella del cilindro in quanto ad area di base e altezza uguali il perimetro di base del cilindro è minore di quello del prisma.

 Verifica:

area di base cilindro $\small = 1\,u^2;$

raggio $\small r= \sqrt{\dfrac{A}{\pi}}= \sqrt{\dfrac{1}{\pi}} \approx{0,564}\,u;$

perimetro $\small 2p= r×2\pi = 0,564×2\pi \approx{3,544}\,u;$

area di base prisma $\small = 1\,u^2;$

spigolo di base $\small s= \sqrt{A} = \sqrt1 = 1\,u;$

perimetro di base $\small 2p= 4×s = 4×1 = 4\,u.$

Quindi, sapendo che l'area laterale si calcola $\small Al= 2p×h$ ed essendo l'altezza uguale, l'area laterale risulterà minore quella del cilindro.