Si tratta di un limiti notevoli. Dividiamo la funzione in parti e aggiungiamo/togliamo oppure moltiplichiamo e dividiamo in modo di evidenziale i limiti elementari. Solo alla fine passeremo al limite.
a. Numeratore
$ \begin{aligned} cos 2x - e^{x^2} &= - (e^{x^2} - cos 2x) \\ &= - (e^{x^2} -1 +1 - cos 2x) \\ &= - ( \frac{e^{x^2} -1}{x^2} x^2 + \frac{1 - cos 2x}{4x^2} 4x^2) \\ &= - x^2 (\frac{e^{x^2} -1}{x^2} + 4\frac{1 - cos 2x}{4x^2} ) \end{aligned} $
.
b. Denominatore.
$\frac{sin 4x}{4x} 4x \cdot \frac {ln(1-2x)}{-2x} (-2x) = -8x^2( \frac{sin 4x}{4x} \cdot \frac {ln(1-2x)}{-2x})$
Passando al limite
$ \displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{numeratore}{denominatore} =$
$ = \displaystyle\lim_{x \to 0} \frac {(\frac{e^{x^2} -1}{x^2} + 4\frac{1 - cos 2x}{4x^2})}{8(\frac{sin 4x}{4x} \cdot \frac {ln(1-2x)}{-2x}) }=\frac {1+ \frac{4}{2}}{8} = \frac {3}{8} $
@cmc Perfetto, grazie infinite. Non avevo pensato a moltiplicare/dividere ogni parte diversamente per ottenere i limiti notevoli. 🙂