[Risolto] Chiarimento equazione irrazionale con modulo

SPIEGAZIONE

Il procedimento seguito e il sistema risolto sono parzialmente corretti.

Prima imponi le condizioni di esistenza del radicale, poi elevi entrambi i membri al quadrato.

In questo caso non è necessario imporre che il secondo membro sia positivo, perché il modulo impone proprio la positività. Quindi sai per certo che $|x-3|$ è positivo (o nullo).

Infine, non c’è bisogno di risolvere un altro sistema, poiché elevando tutto al quadrato, alla fine ottieni $(x-3)^{2}$, che, di nuovo, è sicuramente positivo.

SOLUZIONE

$C.E.:6x^{2}-2x\geq0\Rightarrow{x}\leq0\vee{x}\geq\frac{1}{3}$

$\sqrt{6x^{2}-2x}=|x-3|$

$6x^{2}-2x=|x-3|^{2}$

$6x^{2}-2x=(x-3)^{2}$

$6x^{2}-2x=x^{2}-6x+9$

$5x^{2}+4x-9=0$

$(5x+9)(x-1)=0$

$x_{1}=-\frac{9}{5},~x_{2}=1$

l'unica condizione di esistenza che devi imporre è il radicando maggiore o uguale di 0. Poi elevando al quadrato ambo i membri elimini il modulo e risolvi l'equazione di secondo grado che ti trovi davanti.

Le considerazioni che saltano all'occhio osservando la forma dell'equazione
* √(6*x^2 + 2*x) = |x - 3|
sono tre.
a) Il secondo membro è un reale non negativo (anche per x complesso) quindi tale dev'essere il primo membro.
b) Quale che sia il segno di "x - 3" sparirà nell'indispensabile quadratura.
c) Essendo necessaria una quadratura occorrerà verificare che le radici ottenute non siano spurie.
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CONSEGUENZE
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a) 6*x^2 + 2*x >= 0 ≡ (x <= - 1/3) oppure (x >= 0)
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b) √(6*x^2 + 2*x) = |x - 3| ≡
≡ 6*x^2 + 2*x - |x - 3|^2 = 0 ≡
≡ 5*x^2 + 8*x - 9 = 0 ≡
≡ x^2 + (8/5)*x - 9/5 = 0
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b1) (x^2 + (8/5)*x - 9/5 = 0) & ((x <= - 1/3) oppure (x >= 0)) ≡
≡ ((x = (- 4 - √61)/5 ~= - 2.4) oppure (x = (- 4 + √61)/5) ~= 0.8) & ((x <= - 1/3) oppure (x >= 0)) ≡
≡ (X1 = (- 4 - √61)/5) oppure (X2 = (- 4 + √61)/5)
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c) f(x) = √(6*x^2 + 2*x) - |x - 3|
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c1) f((- 4 - √61)/5) = √(6*((- 4 - √61)/5)^2 + 2*(- 4 - √61)/5) - |(- 4 - √61)/5 - 3| =
= √((422 + 38*√61)/25) - (19 + √61)/5 =
= (19 + √61)/5 - (19 + √61)/5 = 0
La radice X1 è ACCETTABILE.
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c2) f((- 4 + √61)/5) = √(6*((- 4 + √61)/5)^2 + 2*(- 4 + √61)/5) - |(- 4 + √61)/5 - 3| =
= √((422 - 38*√61)/25) - (19 - √61)/5 =
= (19 - √61)/5 - (19 - √61)/5 = 0
La radice X2 è ACCETTABILE.