[Risolto] Cerchio e poligoni regolari

Il suggerimento è un po' contorto, ma intelligente.
Ogni poligono regolare di n lati si decompone in n triangoli isosceli che hanno
* angolo al vertice γ pari a un n-mo di giro
* il lato L dell'ennagono come lato di base
* il raggio R della circonferenza circoscritta come lato di gamba
* il raggio r della circonferenza inscritta come altezza (apotema dell'n-agono)
---------------
NEL CASO DELL'ESAGONO
Ogni esagono regolare si decompone in sei triangoli isosceli che hanno
* angolo al vertice γ pari a un sesto di giro (cioè 60°)
* il lato L dell'esagono come lato di base
* il raggio R della circonferenza circoscritta come lato di gamba
* il raggio r della circonferenza inscritta come altezza (apotema dell'esagono)
Quindi, avendo γ = 60° ed essendo isoscele, il singolo triangolino dev'essere equilatero con L = R ed r = (√3/2)*R, e pertanto di area = r*R/2 = (√3/4)*R^2.
L'intero esagono ha pertanto area
* A(R) = 6*(√3/4)*R^2 = (3*√3/2)*R^2
che, per R = 9 cm, dà
* A(9) = (3*√3/2)*9^2 = 243*√3/2 cm^2
cioè proprio il risultato atteso.
---------------
DETTAGLIO
* r = (√3/2)*R
perché l'altezza r è cateto di un triangolo rettangolo con ipotenusa R ed R/2 come altro cateto; perciò vale la relazione pitagorica
* R^2 = r^2 + (R/2)^2 ≡
≡ r^2 = R^2 - (R/2)^2 ≡
≡ r^2 = (3/4)*R^2 ≡
≡ r = (√3/2)*R