Svolgo gli stessi passaggi di esercizi già fatti in quanto presentano lo stesso procedimento eppure mi escono risultati decimali, chiedo un ulteriore aiuto 🙂
L’esercizio é: determina l’equazione della parabola con asse parallelo all’asse c che a vertice V(12;-6) e passa per il punto A(6;-12) e trova l’equazione della retta tangente alla parabola nel suo punto P di ordinata nulla. Dimostra che la retta trovata è l’asse del segmento FQ con F fuoco della parabola e Q proiezione di P sulla direttrice.
@lucianop potrei avere il procedimento della retta tangente senza la regola della sdoppiamento? Perché non l’ho mai fatta🙊
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Asse di simmetria parallelo all'asse delle x ⇒ equazione canonica del tipo x=ay²+by+c
Vertice V(12,-6) e passa per A(6,-12)
Possiamo usare l'equazione del fascio passante per il vertice V(xV,yV) ed il punto A oppure impostare un sistema di 3 equazione nella 3 incognite a,b e c. Scegliamo il sistema
{xV = (-b²+4ac)/4a = 12 ← ascissa del Vertice
{yV = -b/2a = -6 ← ordinata del vertice
{36a+6b+c = -12 ← passa per A(6,-12)
L'unica soluzione è a=-1/6; b=-2; c=6
L'equazione della parabola risulta così essere x=-y²/6-2y+6
Retta tangente in P
Coordinate di P(xP,0)
Sostituiamo le coordinate nell'equazione e determiniamo per quale valore di xP la stessa è verificata.
xP = 0+0+6.
Le coordinate di P sono P(6,0)
Retta tangente. Usiamo le formule di sdoppiamento
(x+xP)/2 = -y*yP/6 - 2(y+yP)/2 +6
(x+6)/2 = - (y+0) +6
x+2y-6 = 0
Asse FQ
Coordinate del fuoco F(21/2,-6)
Proiezione di P sulla direttrice.
direttrice d: ha equazione x = -(1+b²-4ac)/4a = -(1+4+4)/(-2/3) = 27/2
Coordinate di Q proiezione di P su d: Q(27/2,0)
asse del segmento FQ. Usiamo la definizione di asse come luogo dei punti equidistati dagli estremi F e Q.
(x-xF)²+(y-yF)² = (x-xQ)²+(y-yQ)²
(x-21/2)²+(y+6)² = (x-27/2)²+y²
con i calcoli i termini quadratici si semplificano per cui l'equazione dell'asse risulta