Perchè il carattere di questa serie se utilizzo il criterio del rapporto diverge, mentre se uso il criterio della radice converge?
Perchè il carattere di questa serie se utilizzo il criterio del rapporto diverge, mentre se uso il criterio della radice converge?
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Livello 0
Usiamo l'approssimazione di stirling:
$n ! \approx \sqrt{2 \pi n}(\frac{n}{e})^n$
Quindi $\approx n^\frac12 \cdot n^n e^{-n} $
Usando il confronto tra infiniti, il termine più forte è $n^n$ quindi
Quindi usando il criterio della radice su $n!$ si ha
$ n^\frac{n}{n} = n^{ 1} $
Quindi usando il criterio della radice ottieni: $\frac{n}{3} \rightarrow +\infty $
cioè diverge anche con il criterio della radice
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Livello 5