Studiare il carattere della serie
$$
\sum_{n=1}^{+\infty} \log \left(\cos \frac{1}{n}+\frac{1}{2 n^{2}}\right)
$$
Qualcuno potrebbe aiutarmi a capire il passaggio che bisogna fare per far diventare tutto ciò asintotico a 1/24n^4 per favore.
Studiare il carattere della serie
$$
\sum_{n=1}^{+\infty} \log \left(\cos \frac{1}{n}+\frac{1}{2 n^{2}}\right)
$$
Qualcuno potrebbe aiutarmi a capire il passaggio che bisogna fare per far diventare tutto ciò asintotico a 1/24n^4 per favore.
42
punti
Livello 0
Quando n -> oo, 1/n -> 0
cos u = 1 - u^2/2! + u^4/4! + o(u^4)
e così per u = 1/n
l'argomento del logaritmo é
1 - 1/2 * 1/n^2 + 1/24 * 1/n^4 + o(1/n^4)
e quindi sostituendo
a(n) ~ ln ( 1 - 1/(2n^2) + 1/(24 n^4) + 1/(2n^2) ) = ln ( 1 + 1/(24 n^4) ) =
= 1/(24 n^4)
perché ln (1 +y) é asintotico a y quando y -> 0.
La serie converge e la sua somma non può superare
a1 + S_[1,+oo] 1/(24 x^4) dx ~ 0.419354
45552
punti
Livello 7
@eidosm grazie mille. Però ancora non riesco a capire i primi passaggi come quello nella seconda riga. Volevo capire se ci fosse una formula generale o qualcosa di simile.
p.s. scusa la mia ignoranza ma credo che mi manchi qualcosa che non mi permette di capire
Devi consultare la tabella degli sviluppi in serie
https://www.math.it/formulario/sviluppiMcLaurin.htm
e arrestarlo al primo termine che non scompare.
@eidosm ah ecco lo sviluppo di MacLaurin mi mancava grazie mille