[Risolto] Campo vettoriale conservativo

Se il rotore è diverso da zero, per verificare se si tratta di un campo vettoriale conservativo si verifica l'esistenza di un gradiente di una funzione scalare:

\[\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial (x^3 + y^2)}{\partial x} - \frac{\partial (x + y^2)}{\partial y} = 3x^2 - 2y \neq 0\,;\]

quindi si deve verificare che 

\[\exists \phi \mid \nabla \phi = \mathbf{F}\]

\[\nabla \phi = \left(\frac{\partial \phi}{\partial x}, \frac{\partial \phi}{\partial y}\right) = \left(x + y^2, x^3 + y^2\right) \implies\]

\[\int \frac{\partial \phi}{\partial x} = \phi(x,y) = \int (x + y^2) dx = \frac{x^2}{2} + y^2x + k(y)\]

\[\frac{\partial \phi(x,y)}{\partial y} = y^2 + \frac{\partial k(y)}{\partial y} = x^3 + y^2 \implies k'(y) = x^3\,.\]

Ciò non è possibile perché $k(y)$ è una funzione nell'indeterminata $y\,$, quindi non esiste una tale funzione potenziale, ergo il campo è non conservativo.

Se fosse vero che
* dV/dx = x + y^2
* dV/dy = x^3 + y^2
allora si dovrebbe avere anche
* V = ∫ (x + y^2)*dx = ∫ (x^3 + y^2)*dy ≡
≡ x^2/2 + x*y^2 + c = y*x^3 + y^3/3 + c ≡
≡ 6*(x^2 - y)*x*y - 3*x^2 + 2*y^3 = 0
che, essendo ovviamente un'equazione e non un'identità, confuta l'ipotesi che F sia conservativo.