1. Si consideri il campo vettoriale
$$
\vec{F}(x, y, z)=\left(z e^{-y}+y z(1-x) e^{-x-z} ; e^{-z}-x z e^{-y}+x z e^{-x-z} ; x e^{-y}-y e^{-z}+x y(1-z) e^{-x-z}\right)
$$
a. Si verifichi se il campo è irrotazionale o meno in $\mathbb{R}^3$.
b. Si stabilisca se il campo è conservativo o meno in $\mathbb{R}^3$, calcolando in caso affermativo un potenziale di $\vec{F}$.
Allego traccia e risoluzione dell'esercizio per un controllo. Non so se ho proceduto in Modo corretto.
Grazie in anticipo.
491
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Livello 2
Non mi trovo con il calcolo del potenziale. Andiamo ad integrare F3:
$\int [x e^{-y}-ye^{-z}+xy(1-z)e^{-x-z} ]dz $
$xze^{-y}+ye^{-z}+\int xye^{-x-z}dz-xy\int ze^{-x-z}dz = $
$ xze^{-y}+ye^{-z}-xye^{-x-z}-xy\int ze^{-x-z}dz$
Quest'ultimo lo faccio per parti:
$\int ze^{-x-z}dz = -ze^{-x-z}-\int -e^{-x-z} dz =-ze^{-x-z} -e^{-x-z} =-(z+1) e^{-x-z}$
Dunque otteniamo:
$U(x,y,z) = xze^{-y}+ye^{-z}-xye^{-x-z}+xy(z+1)e^{-x-z}$
che possiamo semplificare come:
$U(x,y,z) = xze^{-y}+ye^{-z}+xyz e^{-x-z} + h(x,y)$
Derivando rispetto a y e uguagliando a $F_2$ otteniamo:
$ -xze^{-y} + e^{-z} + xze^{-x-z} +h_y(x,y) = e^{-z}-xze^{-y}+xze^{-x-z}$
da cui semplificando:
$h_y(x,y) = 0$
e dunque h è costante rispetto a y cioè dipende solo da x: $h=h(x)$
Ora derivando invece rispetto a x e uguagliando a $F_1$:
$ze^{-y} + yze^{-x-z}-xyze^{-x-z}+h_x = ze^{-y} + yz(1-x)e^{-x-z}$
otteniamo che:
$ h_x = 0$
e dunque h è costante anche rispetto a x, cioé $h=c$. Dunque:
$U(x,y,z) = xze^{-y}+ye^{-z}+xyz e^{-x-z} + c$
Noemi
9874
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Livello 5
@n_f Grazieeee infinitamente tanto
