La temperatura di una sfera piena di alluminio, di volume di 4,2 cm³, aumenta di 300 °C.
Se la sfera fosse stata cava, la dilatazione del raggio sarebbe stata la stessa?
La temperatura di una sfera piena di alluminio, di volume di 4,2 cm³, aumenta di 300 °C.
Se la sfera fosse stata cava, la dilatazione del raggio sarebbe stata la stessa?
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Livello 1
La dilatazione termica di un solido è descritta dalla Legge della dilatazione volumetrica
\[ \Delta V = V \beta \Delta T\,,\]
dove $\beta$ è il coefficiente di dilatazione del materiale (in questo caso alluminio).
Per una sfera piena di volume $V = \frac{4}{3} \pi r^3$, incremento di volume è pari a
\[\Delta V = \frac{4}{3} \pi r^3 \beta \Delta T\,.\]
Se il volume si espande di una frazione $\frac{\Delta V}{V}$ allora il raggio si espande di una frazione $\frac{\Delta r}{r}$, tale che
\[\frac{\Delta V}{V} = 3\frac{\Delta r}{r}\,.\]
Poiché $\Delta V = V \beta \Delta T$, si ha:
\[\frac{V \beta \Delta T}{V} = 3\frac{\Delta r}{r} \implies \beta \Delta T = 3\frac{\Delta r}{r} \implies \frac{\Delta r}{r} = \frac{\beta \Delta T}{3}\,.\]
Ergo, la frazione di incremento del raggio dipende solo dal coefficiente di dilatazione volumetrica e dall'incremento della temperatura, e non dalla struttura geometrica interna della sfera.
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Livello 5
@enrico_bufacchi ma se la sfera è cava all'interno non dovrebbe diminuire il volume?
@Bungo Te l'ho dimostrato, la risposta la hai sopra.
@enrico_bufacchi tu hai dimostrato la correlazione tra il raggio e la sfera, non che se la sfera e cava dentro la dilatazione rimane uguale.
@enrico_bufacchi cioè se è cava cambia il volume. Usando due esempi numerici ciò si dimostra. Dai volume iniziale 2 a uno e all'altro 4. Noterai che la dilatazione è diversa.
Mi limito a far notare che " sfera piena di alluminio" si può intendere in più di un modo : sarebbe opportuno usare il termine "omogenea" in luogo di "piena" .
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Genius II
Buongiorno @remanzini_rinaldo,
Tecnicamente "sfera piena" non è ambigua e si riferisce a una omogeneità. Poiché la traccia parla di sfera piena, non mi sono discostato.
@enrico_bufacchi : "sfera piena di alluminio " si può intendere come una sfera (fatta non si sa di che) piena di alluminio, il che non ci porta da nessuna parte 😉
Venendo al nocciolo del problema : se ( e ribadisco se) fosse il volume ad aumentare proporzionalmente all'incremento di temperatura è fuor di dubbio che, a parità di diametro esterno, una sfera cava avrebbe un incremento di volume decisamente inferiore a quello di una sfera omogenea , il che si risolverebbe in un incremento del raggio di misura minore di quanto non si avrebbe per una sfera omogenea ...
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Genius II
Buongiorno @remanzini_rinaldo,
Esattamente. Tuttavia, come ho dimostrato, la variazione radiale
\[\frac{\Delta r}{r} \propto \beta = 3\alpha \qquad \frac{\Delta r}{r} \propto \Delta T\,.\]
Ergo, è indipendente dal volume del materiale, Quid Est Demonstratum.