29
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Livello 0
Calcoliamo il primo valore per $x = 0 \; ⇒ \; F(0) = \int_0^0 log(1+t^3+t^4) \, dt = 0 $
Il successivo sarà
$ F'(x) = log (1+x^3+x^4) ⇒ F'(0) = 0 $
Per i successivi, ricorriamo allo sviluppo noto della funzione log(1+y) ovvero
$ log(1+y) = y -\frac{y^2}{2} + \frac{y^3}{3} -\frac{y^4}{4} + o(y^4) $
Sostituendo alla y il termine x^3+x^4 avremo
$ F(x) = 0 + 0 +x^3 + x^4 - \frac{(x^3 + x^4)^2}{2} + o(x^8)$
$ F(x) = x^3 + x^4 - \frac{x^6}{2} - x^7 - \frac{x^8}{2} + o(x^8) $
Se ci vogliamo fermare alla sesta potenza
$ F(x) = x^3 + x^4 - \frac{x^6}{2} + o(x^6) $
12780
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Livello 4